ESPM 2018/3

Para que um número de três algarismos seja formado:

• Os algarismos devem estar em ordem estritamente crescente.
• Devem ser escolhidos dentre \(\{0,1,2,3,4,5\}\).
• O primeiro algarismo não pode ser \(0\), caso contrário o resultado não seria um número de três algarismos.
• Para ser múltiplo de \(15\), o número precisa ser simultaneamente múltiplo de \(3\) e de \(5\).

1. Escolha dos algarismos

Somente \(1,2,3,4,5\) podem ocupar a primeira posição. Como a ordem é crescente, formar o número equivale a simplesmente escolher \(3\) algarismos distintos desse conjunto.

2. Condição de divisibilidade por 5

Um número inteiro é múltiplo de \(5\) quando termina em \(0\) ou \(5\). Como não podemos terminar em \(0\), é obrigatório que o último algarismo seja \(5\). Portanto, fixamos o \(5\) na última posição e escolhemos os outros dois algarismos dentre \(\{1,2,3,4\}\): \[\binom{4}{2}=6\,\text{ combinações}\] Essas combinações geram os números: \(125,\;135,\;145,\;235,\;245,\;345\).

3. Condição de divisibilidade por 3

Um número é divisível por \(3\) quando a soma de seus algarismos é múltiplo de \(3\). \[ \begin{array}{c|c} \text{Número} & \text{Soma dos algarismos} \\\hline 125 & 8 \\ 135 & 9 \\ \hline 145 & 10 \\ 235 & 10 \\ 245 & 11 \\ 345 & 12 \\ \hline \end{array} \] Somente \(135\) e \(345\) têm soma divisível por \(3\).

4. Conclusão

Há \(2\) números de três algarismos, em ordem crescente, múltiplos de \(15\): \(135\) e \(345\). Logo, a quantidade pedida é \(\boxed{2}\).