Mackenzie 2021

Resolução passo a passo

Para espelhos esféricos valem duas relações fundamentais:

• Equação dos pontos conjugados (ou equação de Gauss):\[\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\]
• Equação do aumento linear (magnificação):\[m=-\frac{q}{p}\]

Os sinais seguem a convenção usual:

• Distâncias medidas à frente do espelho (lado do objeto) são positivas.
• Distâncias medidas atrás do espelho são negativas.
• Imagem direita → \(m\) positivo (\(q<0\)).
• Imagem invertida → \(m\) negativo (\(q>0\)).

1. Primeira situação (vela a 12 cm)

Dados:

• \(p_1 = 12\,\text{cm}\).
• Imagem \(i_1\) é direita e maior, logo:
  \(q_1<0\) (virtual) e \(|m_1|>1\).

Magnificação:

\[m_1=-\frac{q_1}{p_1}=+\frac{|q_1|}{p_1}>1\]

2. Segunda situação (espelho a 36 cm da vela)

Agora o objeto está em \(p_2 = 36\,\text{cm}\). A imagem \(i_2\) é invertida e tem o mesmo tamanho de \(i_1\).

Logo, os módulos dos aumentos são iguais:

\[|m_2|=|m_1|\]

Como \(i_2\) é invertida, \(q_2>0\) e \(m_2=-q_2/p_2\). Portanto

\[\frac{q_2}{36}=\frac{|q_1|}{12}\qquad\Rightarrow\qquad q_2=3|q_1|=-3q_1\] (lembre-se de que \(q_1<0\)).

3. Igualando as duas equações de Gauss

Primeira posição:

\[\frac{1}{f}=\frac{1}{12}+\frac{1}{q_1}\tag{1}\]

Segunda posição:

\[\frac{1}{f}=\frac{1}{36}+\frac{1}{q_2}=\frac{1}{36}+\frac{1}{-3q_1}\tag{2}\]

Igualando (1) e (2):

\[\frac{1}{12}+\frac{1}{q_1}=\frac{1}{36}-\frac{1}{3q_1}\]

Isolando \(q_1\):

\[\frac{1}{12}-\frac{1}{36}= -\frac{1}{3q_1}-\frac{1}{q_1}= -\frac{4}{3q_1}\]

\[\frac{1}{18}= -\frac{4}{3q_1}\qquad\Rightarrow\qquad q_1=-24\,\text{cm}\] (virtual, como esperado).

4. Cálculo da distância focal

Voltando à equação de Gauss (posição 1):

\[\frac{1}{f}=\frac{1}{12}+\frac{1}{-24}=\frac{1}{12}-\frac{1}{24}=\frac{2-1}{24}=\frac{1}{24}\]

\[\boxed{f=24\,\text{cm}}\]

Portanto, a distância focal do espelho é 24 cm ✓