FUVEST 2021
Uma treinadora de basquete aplica o seguinte sistema de pontuação em seus treinos de arremesso à cesta: cada jogadora recebe 5 pontos por arremesso acertado e perde 2 pontos por arremesso errado. Ao fim de 50 arremessos, uma das jogadoras contabilizou 124 pontos.
Qual é a diferença entre as quantidades de arremessos acertados e errados dessa jogadora?
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Resolução
Para resolver esta questão, precisamos montar um sistema de equações lineares com base nas informações fornecidas no enunciado.
Seja \(a\) o número de arremessos acertados e \(e\) o número de arremessos errados.
Sabemos que o total de arremessos é 50. Portanto, a primeira equação é:
\[a + e = 50\]
Também sabemos que cada acerto vale 5 pontos e cada erro retira 2 pontos. A pontuação total foi de 124 pontos. Assim, a segunda equação é:
\[5a - 2e = 124\]
Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
- \(a + e = 50\)
- \(5a - 2e = 124\)
Podemos resolver este sistema pelo método da substituição ou da adição. Vamos usar o método da substituição:
1. Isole uma das variáveis na primeira equação. Vamos isolar \(e\):
\[e = 50 - a\]
2. Substitua essa expressão para \(e\) na segunda equação:
\[5a - 2(50 - a) = 124\]
3. Resolva a equação resultante para \(a\):
\[5a - 100 + 2a = 124\]
\[7a - 100 = 124\]
\[7a = 124 + 100\]
\[7a = 224\]
\[a = \frac{224}{7} = 32\]
Portanto, a jogadora acertou 32 arremessos.
4. Agora, encontre o valor de \(e\) usando a expressão que isolamos no passo 1:
\[e = 50 - a = 50 - 32 = 18\]
A jogadora errou 18 arremessos.
5. Verifique se os valores satisfazem a segunda equação:
\[5(32) - 2(18) = 160 - 36 = 124\]
A pontuação está correta.
A pergunta pede a diferença entre as quantidades de arremessos acertados e errados, ou seja, \(a - e\):
\[Diferença = a - e = 32 - 18 = 14\]
A diferença é 14.
Dicas
Erros Comuns
Para resolver esta questão, é fundamental saber como trabalhar com Sistemas de Equações Lineares do 1º Grau com Duas Incógnitas.
Um sistema desse tipo geralmente se apresenta na forma:
\[ \begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases} \]
Onde \(x\) e \(y\) são as incógnitas, e \(a, b, c, d, e, f\) são coeficientes conhecidos.
Os métodos mais comuns para resolver esses sistemas são:
- Método da Substituição: Isola-se uma incógnita em uma das equações e substitui-se a expressão encontrada na outra equação.
- Método da Adição: Multiplicam-se as equações (ou uma delas) por números convenientes de forma que, ao somar as equações membro a membro, uma das incógnitas seja eliminada.
A habilidade de traduzir um problema de linguagem natural para a linguagem matemática, montando as equações corretamente, também é essencial.
