FUVEST 1995
Resolução
Para resolver este problema, vamos visualizar a situação. Temos uma esfera e um plano que a corta. A intersecção de uma esfera com um plano é uma circunferência.
Vamos denotar:
- \(R\) como o raio da esfera.
- \(d\) como a distância do centro da esfera ao plano que a corta.
- \(r\) como o raio da circunferência formada pela intersecção.
Essas três grandezas formam um triângulo retângulo, onde:
- O raio da esfera \(R\) é a hipotenusa.
- A distância \(d\) é um dos catetos.
- O raio da circunferência \(r\) é o outro cateto.
De acordo com o enunciado, temos:
- Raio da esfera \(R = 13 \text{ cm}\)
- Distância do centro ao plano \(d = 12 \text{ cm}\)
Aplicando o Teorema de Pitágoras (\(hipotenusa^2 = cateto_1^2 + cateto_2^2\)), temos:
\[ R^2 = d^2 + r^2 \]
Substituindo os valores conhecidos:
\[ 13^2 = 12^2 + r^2 \]
Calculando os quadrados:
\[ 169 = 144 + r^2 \]
Agora, isolamos \(r^2\):
\[ r^2 = 169 - 144 \]
\[ r^2 = 25 \]
Finalmente, calculamos \(r\) tirando a raiz quadrada:
\[ r = \sqrt{25} \]
\[ r = 5 \text{ cm} \]
Portanto, o raio da circunferência é 5 cm.
Dicas
Erros Comuns
Secção de uma Esfera por um Plano:
Quando um plano intersecta uma esfera, a figura geométrica formada pela intersecção é uma circunferência. Seja \(R\) o raio da esfera e \(d\) a distância do centro da esfera ao plano secante.
- Se \(d < R\), a intersecção é uma circunferência de raio \(r\), onde \(r = \sqrt{R^2 - d^2}\).
- Se \(d = R\), o plano é tangente à esfera e a intersecção é um único ponto (uma circunferência de raio \(r = 0\)).
- Se \(d > R\), o plano não intersecta a esfera.
No problema, o raio da esfera \(R\) é a hipotenusa do triângulo retângulo, a distância \(d\) é um cateto, e o raio da circunferência da secção \(r\) é o outro cateto.
Teorema de Pitágoras:
Em qualquer triângulo retângulo, a soma dos quadrados das medidas dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa.
Se \(a\) e \(b\) são os comprimentos dos catetos e \(c\) é o comprimento da hipotenusa, então:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
No contexto da secção esférica, a relação é \(R^2 = d^2 + r^2\), onde \(R\) é o raio da esfera (hipotenusa), \(d\) é a distância do centro ao plano (cateto), e \(r\) é o raio da circunferência da secção (cateto).
