FGV-SP Administração 2018/1
Uma senha é formada por 8 caracteres, permutando-se os elementos do conjunto {a,b,c,d,e,1,3,5}.
Quantas senhas diferentes podem ser formadas de modo que na 2ª posição haja uma letra e na 6ª posição um algarismo?
40 320
10 800
720
4 320
14 400
Resolução
O conjunto fornecido possui 8 elementos distintos:
\(\{a,\; b,\; c,\; d,\; e,\; 1,\; 3,\; 5\}\)
Queremos formar senhas (permutações desses 8 caracteres) com as seguintes restrições:
- na 2ª posição deve haver uma letra;
- na 6ª posição deve haver um algarismo.
1. Escolha dos caracteres fixos
• Na 2ª posição podemos colocar qualquer uma das 5 letras \(\{a,b,c,d,e\}\).
• Na 6ª posição podemos colocar qualquer um dos 3 algarismos \(\{1,3,5\}\).
Número de maneiras de escolher esses dois caracteres:
\[5 \times 3 = 15\]
2. Permutação dos demais 6 caracteres
Depois de escolhidos os caracteres das posições 2 e 6, restam 6 símbolos diferentes para preencher as 6 posições livres (1ª, 3ª, 4ª, 5ª, 7ª e 8ª).
Como são todos distintos, eles podem ser dispostos de
\[6! = 720\]
maneiras.
3. Regra do produto
Multiplicando as possibilidades independentes:
\[15 \times 720 = 10\,800\]
4. Resposta
Existem 10 800 senhas que satisfazem as condições.
Alternativa correta: B.
Dicas
Erros Comuns
Permutações com restrições
- Permutação simples: quantidade de maneiras de ordenar \(n\) elementos distintos é \(n!\).
- Regra do produto: se uma escolha pode ser feita de \(p\) formas e, independentemente, outra de \(q\) formas, há \(p\times q\) formas de realizar ambas.
- Estratégia comum:
1. Fixe as posições que têm restrição.
2. Conte as opções para cada posição.
3. Permute os elementos restantes.
4. Multiplique (regra do produto).
