Prefeitura de Goiatuba 2023
Uma salgadeira vende o cento de salgados fritos a R\$ 30,00. Cobrando esse valor, ela vende 100 centos por mês; porém, fazendo uma promoção em que o cento passa a custar um real a menos, ela vende 10 centos a mais por mês. Quanto ela deveria cobrar pelo cento para que sua receita fosse máxima?
R\$ 10,00.
R\$ 15,00.
R\$ 20,00.
R\$ 25,00.
Resolução
Resolução passo a passo
Seja \(p\) o preço (em reais) cobrado por cento de salgados e \(q(p)\) a quantidade, em centos, vendida nesse preço.
1. Modelando a quantidade vendida
- No preço atual, R\$ 30,00, vendem-se 100 centos.
- Quando o preço diminui R\$ 1,00, a quantidade aumenta em 10 centos.
Cada redução de R\$ 1,00 corresponde a um aumento de 10 unidades na venda. Logo, quando o preço cai de 30 para \(p\), a variação é \(30-p\) reais, resultando em um acréscimo de \(10(30-p)\) centos.
Assim,
\[q(p)=100+10(30-p)=400-10p.\]
2. Função receita
A receita mensal é
\[R(p)=p\,q(p)=p\,(400-10p)= -10p^{2}+400p.\]
3. Máximo da parábola
A função \(R(p)\) é uma parábola côncava (coeficiente de \(p^{2}\) negativo). Seu máximo ocorre no vértice:
\[p_{\text{máx}}=-\frac{b}{2a}= -\frac{400}{2(-10)}=\frac{400}{20}=20.\]
4. Conclusão
Para maximizar a receita, a salgadeira deve cobrar R\$ 20,00 por cento de salgados.
Alternativa correta: C.
Dicas
Erros Comuns
- Função Receita: produto do preço pela quantidade vendida.
- Modelagem linear da demanda: aumento (ou redução) constante na quantidade para cada variação unitária de preço.
- Função quadrática: uma receita dada por \(R(p)=ap^{2}+bp+c\) forma uma parábola; se \(a<0\), o ponto de máximo é o vértice.
- Vértice da parábola: em \(y=ax^{2}+bx+c\), o x do vértice é \(-\dfrac{b}{2a}.\)
