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FDV 2015/2
Uma prova com duas questões foi dada a uma classe de quarenta alunos. Dez alunos acertaram as duas questões, 25 acertaram a primeira e 20 acertaram a segunda questão. Quantos alunos erraram as duas questões?
a
40.
b
10.
c
Nenhum.
d
8.
e
5.
Ver resposta
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Resposta
E
Resolução
Sejam:
- A = alunos que acertaram a primeira questão → |A| = 25
- B = alunos que acertaram a segunda questão → |B| = 20
- |A \(\cap\) B| = 10 (alunos que acertaram as duas)
Pelo Princípio da Inclusão-Exclusão, a quantidade de alunos que acertaram pelo menos uma questão é
\[|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 25 + 20 - 10 = 35.\]
Como a turma tem 40 alunos, os que não acertaram nenhuma questão são
\[40 - 35 = 5.\]
Portanto, 5 alunos erraram as duas questões.
Dicas
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Represente os grupos de acertos como conjuntos.
Use |A ∪ B| = |A| + |B| – |A ∩ B|.
Subtraia o total encontrado do número de alunos.
Erros Comuns
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Somar 25+20 e subtrair de 40 sem descontar a interseção, obtendo resultado negativo ou 8.
Confundir os 10 que acertaram as duas com os que erraram ambas.
Achar que 35 alunos erraram ambas por interpretar erroneamente "acertaram" como "erraram".
Revisão
- Conjuntos A e B: representam grupos (quem acertou a 1.ª e quem acertou a 2.ª).
- Princípio da Inclusão-Exclusão: para dois conjuntos, \(|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|\).
- Complemento: quem não pertence a \(A \cup B\) é quem errou ambas.
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