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PUC-Rio 2013/2
Uma prova com duas questões foi dada a uma classe de quarenta alunos. Quinze alunos acertaram as duas questões, 20 acertaram a primeira e 22 acertaram a segunda questão. Quantos alunos erraram as duas questões?
a
15
b
13
c
22
d
20
e
12
Ver resposta
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Resposta
B
Resolução
Sejam:
- \(A\): conjunto dos alunos que acertaram a 1ª questão.
- \(B\): conjunto dos alunos que acertaram a 2ª questão.
Os dados:
- |A| = 20
- |B| = 22
- |A \cap B| = 15
- Total de alunos = 40
Queremos o número de alunos que erraram as duas, isto é, o número de elementos do complemento de \(A \cup B\).
Pelo Princípio da Inclusão-Exclusão:
\[|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 20 + 22 - 15 = 27.\]
Portanto, 27 alunos acertaram ao menos uma questão.
Logo, os que erraram ambas são:
\[40 - 27 = 13.\]
Resposta: 13 (alternativa B).
Dicas
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Desenhe um diagrama de Venn com os conjuntos dos que acertaram cada questão.
Use |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Subtraia esse resultado do total de alunos para achar quem não pertence a A ∪ B.
Erros Comuns
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Esquecer de subtrair a interseção ao aplicar o PIE.
Confundir quem acertou as duas com quem errou as duas.
Fazer 20 + 22 = 42 e subtrair de 40 sem considerar a interseção, obtendo número negativo.
Revisão
Princípio da Inclusão-Exclusão (PIE)
Para dois conjuntos \(A\) e \(B\):
\[|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|.\]
Ele evita a contagem dupla dos elementos comuns a ambos os conjuntos.
Complemento de um conjunto
Se \(U\) é o universo (neste caso, todos os 40 alunos), o complemento de \(A \cup B\) é o subconjunto de elementos que não pertencem a \(A\) nem a \(B\).
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