FACERES Medicina 2015/1
Resolução
Para determinar quantas árvores cabem na região sombreada, devemos encontrar a área desse trecho e depois dividir pela área ocupada por cada muda (0,5 m²).
1. Interpretando a região sombreada
A figura mostra:
- um setor circular de raio r=20 m, cujo ângulo central é \(\theta = 45^\circ\);
- a parte sombreada é apenas o segmento circular, isto é, o setor MENOS o triângulo isósceles AÔB.
2. Área do setor
\[ A_{\text{setor}} = \frac{\theta}{360^\circ}\,\pi r^2 = \frac{45^\circ}{360^\circ}\,\pi (20)^2 = \frac18 \cdot 3 \cdot 400 = 150\,\text{m}^2. \]
3. Área do triângulo isósceles AÔB
Podemos usar a fórmula \(A = \tfrac12 r^2 \sin\theta\):
\[ A_{\triangle} = \frac12\, (20)^2 \sin 45^\circ = 200 \cdot \sin 45^\circ. \]
O enunciado fornece \(\sqrt2 = 1{,}4\) ⇒ \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt2}{2} \approx \frac{1{,}4}{2} = 0{,}7\).
Assim,
\[ A_{\triangle} = 200 \times 0{,}7 = 140\,\text{m}^2. \]
4. Área do segmento (região sombreada)
\[ A_{\text{sombreada}} = A_{\text{setor}} - A_{\triangle} = 150 - 140 = 10\,\text{m}^2. \]
5. Número máximo de árvores
Cada árvore necessita de 0,5 m²:
\[ N = \frac{10}{0,5} = 20. \]
Portanto, no máximo 20 pequenas árvores podem ser plantadas nessa área.
Alternativa correta: C
Dicas
Erros Comuns
- Setor circular: região limitada por dois raios e o arco correspondente. Área: \(A = \dfrac{\theta}{360^\circ}\,\pi r^2\).
- Triângulo isósceles com lados iguais ao raio dentro do setor. Área: \(A = \tfrac12 r^2 \sin\theta\).
- Segmento circular: parte do setor compreendida entre o arco e a corda que o fecha. Área: setor – triângulo.
- Conversão de área em quantidade: dividir a área total disponível pela área necessária por item.
