UERJ 2017/2

Para calcular \(\cos \widehat{AMD}\) em um tetraedro regular de aresta 6 cm, convém usar coordenadas cartesianas e produto escalar.

1. Colocando o tetraedro em um sistema de eixos

• Escolha o plano \(xy\) para conter o triângulo de base \(ABC\).
• Faça \(A=(0,0,0)\) e \(B=(6,0,0)\).
• Como \(ABC\) é equilátero de lado 6, o vértice \(C\) é \(C=(3,3\sqrt3,0)\).

O baricentro (centro de gravidade) do triângulo \(ABC\) é

\[G=\bigl(3,\,\sqrt3,\,0\bigr).\]

O ponto \(D\) deve distar 6 cm de cada vértice do triângulo. Logo tomamos \(D=(3,\sqrt3,z)\) e impomos

\[(3-0)^2+(\sqrt3-0)^2+z^2=6^2.\]

Daí \(9+3+z^2=36\Rightarrow z^2=24\Rightarrow z=2\sqrt6\) (tomamos o valor positivo para ficar acima do plano \(xy\)). Assim,

\[D=(3,\,\sqrt3,\,2\sqrt6).\]

2. Coordenadas de \(M\)

\(M\) é o ponto médio de \(BC\):

\[M=\Bigl(\tfrac{6+3}{2},\tfrac{0+3\sqrt3}{2},0\Bigr)=\bigl(4{,}5,\,1{,}5\sqrt3,\,0\bigr).\]

3. Vetores \(\overrightarrow{MA}\) e \(\overrightarrow{MD}\)

\(\overrightarrow{MA}=A-M=(-4{,}5,-1{,}5\sqrt3,0)\)

\(\overrightarrow{MD}=D-M=(-1{,}5,-0{,}5\sqrt3,2\sqrt6)\)

4. Produto escalar e cosseno

Produto escalar:

\[\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MD}=(-4{,}5)(-1{,}5)+(-1{,}5\sqrt3)(-0{,}5\sqrt3)+0\cdot2\sqrt6=6{,}75+2{,}25=9.\]

Módulos:

\n\[\|\overrightarrow{MA}\|=\sqrt{(-4{,}5)^2+(-1{,}5\sqrt3)^2}=\sqrt{20{,}25+6{,}75}=\sqrt{27}=3\sqrt3,\]

\[\|\overrightarrow{MD}\|=\sqrt{(-1{,}5)^2+(-0{,}5\sqrt3)^2+(2\sqrt6)^2}=\sqrt{2{,}25+0{,}75+24}=\sqrt{27}=3\sqrt3.\]

Portanto,

\[\cos \widehat{AMD}=\dfrac{9}{(3\sqrt3)(3\sqrt3)}=\dfrac{9}{27}=\boxed{\dfrac13}.\]