FPP Verão Medicina 2019
Uma pessoa quer criar uma playlist de músicas favoritas para ouvir e tem a seu dispor uma biblioteca contendo 50 músicas, divididas em 5 grandes gêneros: rock, dance, pop, blues e clássica. Há 10 músicas em cada gênero. Hoje ela fará uma playlist em que vai escutar 25 músicas da seguinte forma: 5 músicas de cada de um dos 5 gêneros, sendo que músicas de um mesmo gênero devem ser tocadas em seguida até se esgotarem as músicas daquele gênero. Em uma playlist, nenhuma música pode se repetir e a ordem com a qual elas são tocadas faz diferença.
É CORRETO afirmar que o número total de playlists possíveis será de
2500
6048
30240
302405
120 × 302405
Resolução
Neste problema, temos 5 gêneros (rock, dance, pop, blues e clássica), cada um com 10 músicas disponíveis. Precisamos montar uma playlist com 25 músicas, sendo 5 de cada gênero, e todas as 5 músicas de um mesmo gênero devem ser tocadas consecutivamente.
Passos para calcular o total de playlists:
- Para cada gênero, selecionar 5 músicas dentre 10, o que é dado por \(\binom{10}{5} = 252\).
- Definir a ordem dessas 5 músicas, o que rende \(5! = 120\) possibilidades para cada escolha.
- Assim, para um gênero, temos \(252 \times 120 = 30240\) maneiras diferentes de escolher e ordenar 5 músicas.
- Como se faz isso para cada um dos 5 gêneros, e assumindo que a ordem dos blocos de gêneros já está fixada, multiplicamos apenas \(30240\) para cada gênero, resultando em \(\bigl(30240\bigr)^5\).
Isso explica porque a resposta correta é \(30240^5\).
Dicas
Erros Comuns
- Combinações: número de maneiras de escolher elementos sem se importar com a ordem.
- Permutações: número de maneiras de ordenar elementos.
- Blocos consecutivos: quando impomos que músicas de um mesmo gênero devem ficar juntas, tratamos cada conjunto de 5 músicas como um bloco que não se mistura com outros gêneros.
