UNIFOR 1ª Fase 2011/1
Uma pessoa inspira e espira a cada 3 segundos. O volume de ar nos pulmões de uma pessoa varia entre um número mínimo de 2 litros e um máximo de 4 litros. A função
\(f\left(t\right)=3+sen\left(\frac{2\pi}{3}t\right)\)
representa o volume de ar, nos pulmões da pessoa, em função do tempo t. Qual o gráfico que melhor representa essa função?
Resolução
1. Deslocamento vertical (valor médio)
A função é \(f(t)=3+\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}t\right)\). O termo +3 desloca toda a senoide 3 unidades para cima. Portanto, o valor médio do volume é 3 L.
2. Amplitude
A amplitude é o coeficiente que multiplica o seno. Como é 1, o gráfico oscila 1 unidade acima e 1 unidade abaixo do valor médio.
• Valor máximo: \(3+1 = 4\;\text{L}\)
• Valor mínimo: \(3-1 = 2\;\text{L}\)
3. Período
Para \(\sin(kt)\) o período é \(\dfrac{2\pi}{k}\). Aqui \(k = \dfrac{2\pi}{3}\):
\[ T = \frac{2\pi}{\frac{2\pi}{3}} = 3\;\text{s} \]
Isto bate com o enunciado: a pessoa completa uma inspiração + expiração a cada 3 s.
4. Valor inicial e sentido
\(f(0)=3+\sin 0 = 3\). Como \(\cos 0 = 1>0\), a derivada inicial é positiva: o volume aumenta a partir de 3 L (inspirando).
5. Escolha do gráfico
Precisamos de um gráfico que:
- passe por (0,3) com inclinação positiva;
- oscile entre 2 e 4;
- tenha período 3 s.
O único que satisfaz simultaneamente essas três condições é o Gráfico A.
Dicas
Erros Comuns
Função senoide traduzida — \(f(t)=a+ b\,\sin(kt)\)
- Valor médio (eixo de equilíbrio): \(a\).
- Amplitude: \(|b|\) — quanto varia para cima/baixo do valor médio.
- Período: \(\dfrac{2\pi}{k}\).
- Fase inicial: avalie \(f(0)\) e o sinal da derivada \(f'(0)=kb\cos(0)\) para saber se o gráfico parte subindo ou descendo.
