ENEM 2013 segunda aplicação
Uma pequena fábrica vende seus bonés em pacotes com quantidades de unidades variáveis. O lucro obtido é dado pela expressão L(x) = −x2 + 12x − 20, onde x representa a quantidade de bonés contidos no pacote. A empresa pretende fazer um único tipo de empacotamento, obtendo um lucro máximo.
Para obter o lucro máximo nas vendas, os pacotes devem conter uma quantidade de bonés igual a
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Resolução
A questão pede para encontrar a quantidade de bonés \(x\) que maximiza o lucro \(L(x)\), dado pela função quadrática \(L(x) = -x^2 + 12x - 20\).
A função \(L(x) = -x^2 + 12x - 20\) é uma função do segundo grau, cujo gráfico é uma parábola. Como o coeficiente do termo \(x^2\) é \(a = -1\), que é negativo, a parábola tem concavidade voltada para baixo. Isso significa que a função possui um valor máximo.
O valor máximo de uma função quadrática \(f(x) = ax^2 + bx + c\) ocorre no vértice da parábola. A coordenada \(x\) do vértice (\(x_v\)) nos dá o valor de \(x\) para o qual a função atinge seu valor máximo (ou mínimo).
A fórmula para calcular a coordenada \(x\) do vértice é:
\[ x_v = -\frac{b}{2a} \]Na função \(L(x) = -x^2 + 12x - 20\), temos os coeficientes:
- \(a = -1\)
- \(b = 12\)
- \(c = -20\)
Agora, substituímos os valores de \(a\) e \(b\) na fórmula do \(x_v\):
\[ x_v = -\frac{12}{2 \times (-1)} \] \[ x_v = -\frac{12}{-2} \] \[ x_v = 6 \]Portanto, a quantidade de bonés por pacote que maximiza o lucro é \(x = 6\).
Verificando o lucro máximo (embora não seja pedido, é útil para confirmação):
\[ L(6) = -(6)^2 + 12(6) - 20 \] \[ L(6) = -36 + 72 - 20 \] \[ L(6) = 36 - 20 \] \[ L(6) = 16 \]O lucro máximo é de R\$ 16,00 (ou 16 unidades monetárias), obtido quando cada pacote contém 6 bonés.
A resposta correta é a quantidade de bonés que maximiza o lucro, ou seja, \(x=6\).
Dicas
Erros Comuns
Função Quadrática: Uma função do tipo \(f(x) = ax^2 + bx + c\), onde \(a\), \(b\), e \(c\) são constantes e \(a \neq 0\).
Gráfico da Função Quadrática: O gráfico é uma parábola.
- Se \(a > 0\), a parábola tem concavidade voltada para cima e a função possui um valor mínimo.
- Se \(a < 0\), a parábola tem concavidade voltada para baixo e a função possui um valor máximo.
Vértice da Parábola: É o ponto onde a função atinge seu valor máximo ou mínimo. Suas coordenadas são \((x_v, y_v)\).
- A coordenada \(x\) do vértice é dada por \(x_v = -\frac{b}{2a}\). Este valor de \(x\) indica onde ocorre o máximo ou mínimo da função.
- A coordenada \(y\) do vértice é dada por \(y_v = f(x_v) = -\frac{\Delta}{4a}\), onde \(\Delta = b^2 - 4ac\). Este é o valor máximo ou mínimo da função.
Nesta questão, como queremos maximizar o lucro \(L(x)\) (uma função quadrática com \(a<0\)), precisamos encontrar o valor de \(x\) que corresponde ao \(x_v\).
