UNIFESO 2014/2

Passo 1 – Energias no instante \(t_1\)
• A esfera é abandonada do repouso (\(v=0\)).
• A mola está em seu comprimento natural (\(x=0\)), logo a energia potencial elástica é nula.
• Tomando o nível de referência de energia potencial gravitacional na própria posição de \(t_1\), temos \(E_{pg}=0\) nesse ponto.

Portanto, a energia mecânica inicial do sistema massa + mola é
\[E_1 = K_1 + E_{pe,1} + E_{pg,1}=0+0+0=0.\]

Passo 2 – Energias no instante \(t_2\)
• No ponto mais baixo a esfera volta a estar em repouso (extremo da oscilação) → \(K_2=0\).
• A mola está esticada de \(h\) (alongamento \(x=h\)), portanto
\[E_{pe,2}=\tfrac12 k h^2.\]
• A esfera desceu \(h\) em relação ao nível adotado, logo sua energia potencial gravitacional vale
\[E_{pg,2}= -Mg h.\]

Assim, a energia mecânica no instante \(t_2\) é
\[E_2 = 0 + \tfrac12 k h^2 - Mg h.\]

Passo 3 – Aplicando conservação da energia
Para o sistema (esfera + mola), as únicas forças externas que realizam trabalho são o peso e a reação do teto (que não se desloca). O peso realiza trabalho, mas é uma força conservativa; não há atrito nem outras perdas. Logo há conservação da energia mecânica:
\[E_2 = E_1.\]
Como \(E_1 = 0\), temos
\[\tfrac12 k h^2 - Mg h = 0 \;\Rightarrow\; \tfrac12 k h^2 = Mg h.\]

Essa igualdade confirma a condição do ponto mais baixo e mostra que a própria variação de energia resulta nula:

Passo 4 – Trabalho realizado pelo peso
O peso \(\vec{P}=M\,g\,\hat{\jmath}\) atua para baixo e o deslocamento \(\vec{d}\) também é para baixo (módulo \(h\)). O trabalho é
\[W_{1\to2}=\vec P\cdot\vec d = Mg\,h\cos 0^{\circ}=\boxed{Mg h}.\]

Conclusão
\(\Delta E = 0\) e \(W_{1\to2}= Mg h\). O gabarito corresponde à alternativa C.