UFPA 2012
Uma passarela construída em uma BR no Pará tem um vão livre de comprimento 4L. A sustentação da passarela é feita a partir de 3 cabos de aço presos em uma coluna à esquerda a uma altura D da passarela. Esta coluna por sua vez é presa por um cabo de aço preso a um ponto na mesma altura da passarela, e a uma distância L da passarela, conforme representa a figura abaixo.
Supondo L=9m e D=12m, o comprimento total dos quatros cabos de aço ultilizados é, em metros?
57
111
21 + √1341
30 + 6√13 + 3√97
30 + √213 + √97
Resolução
Sejam:
- \(L = 9\,\text{m}\) — distância horizontal básica.
- \(D = 12\,\text{m}\) — altura do topo da coluna em relação ao nível da passarela.
Ao todo há 4 cabos de aço:
- O estai de contrapeso (cabo traseiro), fixado no topo da coluna e num ponto a distância horizontal \(L\) atrás da coluna, no nível da passarela.
- Três cabos de sustentação da passarela, ancorados nos pontos \(L\), \(2L\) e \(3L\) à direita da coluna.
1. Comprimento do estai (cabo traseiro)
Forma-se um triângulo retângulo com catetos \(L\) e \(D\). Assim:
\[ c_0 = \sqrt{L^2 + D^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15\,\text{m}. \]2. Cabos que sustentam a passarela
A cada ponto de ancoragem forma-se outro triângulo retângulo com cateto vertical \(D\) e cateto horizontal igual à distância do ponto à coluna.
- Ponto a \(L\): \(c_1 = \sqrt{L^2+D^2}=15\,\text{m}\).
- Ponto a \(2L\): \[ c_2 = \sqrt{(2L)^2 + D^2} = \sqrt{18^2 + 12^2} = \sqrt{324 + 144} = \sqrt{468} = 6\sqrt{13}\,\text{m}. \]
- Ponto a \(3L\): \[ c_3 = \sqrt{(3L)^2 + D^2} = \sqrt{27^2 + 12^2} = \sqrt{729 + 144} = \sqrt{873} = 3\sqrt{97}\,\text{m}. \]
3. Soma total
\[ L_{\text{total}} = c_0 + c_1 + c_2 + c_3 = 15 + 15 + 6\sqrt{13} + 3\sqrt{97} = 30 + 6\sqrt{13} + 3\sqrt{97}.\]Portanto, o comprimento total dos quatro cabos é 30 + 6√13 + 3√97 metros.
Dicas
Erros Comuns
Teorema de Pitágoras: em qualquer triângulo retângulo de catetos \(a\) e \(b\) e hipotenusa \(c\), vale \(c^2 = a^2 + b^2\). Ele permite calcular comprimentos desconhecidos quando dois lados são conhecidos.
Distância em um plano cartesiano: a distância entre os pontos \((x_1,y_1)\) e \((x_2,y_2)\) é dada por \(\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\), que nada mais é que o Teorema de Pitágoras aplicado.
Cálculo de soma total: depois de encontrar cada comprimento, basta somá-los para obter o total necessário de cabo.
