Secretaria da Educaçãodo Espírito Santo 2022
Uma partícula em movimento retilíneo possui velocidade dada por v(t) = 5 + 3t2, com unidades no Sistema Internacional de Unidades. No instante t = 0, a partícula encontrava-se a 15 m da origem, no sentido positivo. A aceleração e a posição da partícula no instante t = 4 segundos são, respectivamente, em m/s2 e m:
48 e 68.
24 e 99.
29 e 49.
24 e 68.
48 e 99.
Resolução
Solução passo a passo
1. Velocidade fornecida: \(v(t)=5+3t^{2}\) (m/s).
2. Aceleração é a derivada da velocidade:
\[a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(5+3t^{2}\bigr)=6t.\]
No instante \(t=4\,\text{s}\):
\[a(4)=6\cdot4=24\;\text{m/s}^{2}.\]
3. Posição é a integral da velocidade (com a constante de integração determinada pela condição inicial).
\[s(t)=\int\!\bigl(5+3t^{2}\bigr)\,dt=5t+t^{3}+C.\]
Sabendo que \(s(0)=15\,\text{m}\):
\[15 = 5\cdot0 + 0^{3} + C\;\Longrightarrow\;C=15.\]
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\[s(t)=5t+t^{3}+15.\]
No instante \(t=4\,\text{s}\):
\[s(4)=5\cdot4+4^{3}+15=20+64+15=99\;\text{m}.\]
Resposta: aceleração = 24 m/s2 e posição = 99 m.
A alternativa correta é B.
Dicas
Erros Comuns
Derivada em Cinemática: a derivada da função posição fornece velocidade e a derivada da velocidade fornece aceleração.
Integral em Cinemática: a integral da velocidade fornece a posição (mais a constante de integração), e a integral da aceleração fornece velocidade.
Condição inicial: valores dados em \(t=0\) permitem encontrar a constante de integração, garantindo que a solução satisfaça o problema físico.
