UNESP 2013/2
Uma partícula em movimento descreve sua trajetória sobre semicircunferências traçadas a partir de um ponto P0, localizado em uma reta horizontal r, com deslocamento sempre no sentido horário. A figura mostra a trajetória da partícula, até o ponto P3, em r. Na figura, O, O1 e O2 são os centros das três primeiras semicircunferências traçadas e R, 
, 
seus respectivos raios.
A trajetória resultante do movimento da partícula será obtida repetindo-se esse comportamento indefinidamente, sendo o centro e o raio da n-ésima semicircunferência dados por On e Rn = 
, respectivamente, até o ponto Pn, também em r. Nessas condições, o comprimento da trajetória descrita pela partícula, em função do raio R, quando n tender ao infinito, será igual a
22 · π · R.
23 · π · R.
2n · π · R.
2 · π · R.
Resolução
Para resolver esta questão, precisamos calcular o comprimento total da trajetória da partícula, que é composta por uma sequência infinita de semicircunferências com raios decrescentes.
Comprimento de uma semicircunferência: O comprimento de uma circunferência de raio \(r\) é dado por \(C = 2 \pi r\). O comprimento de uma semicircunferência é metade disso, ou seja, \(L_{semicirc} = \frac{1}{2} (2 \pi r) = \pi r\).
Identificação dos raios: A questão descreve as três primeiras semicircunferências e seus raios. A primeira tem raio \(R_1 = R\). A segunda tem raio \(R_2 = \frac{R}{2}\). A terceira tem raio \(R_3 = \frac{R}{4}\). Observamos um padrão onde o raio de cada semicircunferência subsequente é metade do raio da anterior. Generalizando, o raio da n-ésima semicircunferência é \(R_n = \frac{R}{2^{n-1}}\). (Nota: A fórmula \(R_n = R/2^n\) dada no enunciado parece inconsistente com os raios iniciais R, R/2, R/4 explicitamente mencionados e mostrados na figura. Vamos seguir o padrão estabelecido pelos primeiros termos e pela figura: R, R/2, R/4, ...).
Comprimento de cada semicircunferência da trajetória: Usando a fórmula \(L_{semicirc} = \pi r\), calculamos o comprimento de cada arco:
- Primeiro arco (raio R): \(L_1 = \pi R\)
- Segundo arco (raio R/2): \(L_2 = \pi \left(\frac{R}{2}\right)\)
- Terceiro arco (raio R/4): \(L_3 = \pi \left(\frac{R}{4}\right)\)
- n-ésimo arco (raio \(R/2^{n-1}\)): \(L_n = \pi \left(\frac{R}{2^{n-1}}\right)\)Comprimento total da trajetória: O comprimento total \(L_{total}\) é a soma dos comprimentos de todas as semicircunferências, à medida que \(n\) tende ao infinito.
\(L_{total} = L_1 + L_2 + L_3 + \dots + L_n + \dots\)
\(L_{total} = \pi R + \pi \frac{R}{2} + \pi \frac{R}{4} + \pi \frac{R}{8} + \dots\)
Podemos fatorar \(\pi R\):
\(L_{total} = \pi R \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots \right)\)Soma da série geométrica infinita: A expressão dentro dos parênteses é uma série geométrica infinita \( (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots) \).
- O primeiro termo é \(a = 1\).
- A razão comum é \(q = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}\).
Como \(|q| = |1/2| < 1\), a série converge. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita convergente é \(S = \frac{a}{1 - q}\).
- Calculando a soma: \(S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2\).Cálculo final: Substituímos o valor da soma da série de volta na expressão para \(L_{total}\):
\(L_{total} = \pi R \times S\)
\(L_{total} = \pi R \times 2\)
\(L_{total} = 2 \pi R\)
Portanto, o comprimento total da trajetória descrita pela partícula, quando n tender ao infinito, será igual a \(2 \pi R\).
Dicas
Erros Comuns
Para resolver esta questão, são necessários os seguintes conceitos:
- Comprimento da Circunferência e Semicircunferência: O comprimento (perímetro) de uma circunferência de raio \(r\) é \(C = 2\pi r\). Uma semicircunferência corresponde à metade do arco da circunferência, logo seu comprimento é \(L_{semicirc} = \frac{1}{2} C = \pi r\).
- Progressão Geométrica (PG): Uma sequência numérica onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante chamada razão (q).
- Série Geométrica Infinita: A soma dos termos de uma PG infinita. Se o módulo da razão \(|q| < 1\), a série converge para um valor finito dado pela fórmula \(S = \frac{a}{1 - q}\), onde \(a\) é o primeiro termo da série.
