ENEM 2023
Uma loja vende seus produtos de duas formas: à vista ou financiado em três parcelas mensais iguais. Para definir o valor dessas parcelas nas vendas financiadas, a loja aumenta em 20% o valor do produto à vista e divide esse novo valor por 3. A primeira parcela deve ser paga no ato da compra, e as duas últimas, em 30 e 60 dias após a compra.
Um cliente da loja decidiu comprar, de forma financiada, um produto cujo valor à vista é R\$ 1.500,00.
Utilize 5,29 como aproximação para \(\sqrt{28} \)
A taxa mensal de juros compostos praticada nesse financiamento é de
6,7%
10%
20%
21,5%
23,3%
Resolução
Passo a Passo da Solução:
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Calcular o valor total financiado (com acréscimo): A loja aumenta o valor à vista em 20%. O valor à vista (VA) é R\$ 1.500,00.
Valor com acréscimo = VA × (1 + 0,20) = 1.500 × 1,20 = R\$ 1.800,00.
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Calcular o valor de cada parcela (P): O valor com acréscimo é dividido em 3 parcelas mensais iguais.
P = Valor com acréscimo / 3 = 1.800 / 3 = R\$ 600,00.
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Entender o fluxo de pagamentos: O financiamento é pago em 3 parcelas de R\$ 600,00. A primeira é paga no ato da compra (entrada), a segunda em 30 dias (mês 1) e a terceira em 60 dias (mês 2).
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Estabelecer a equação de equivalência de capitais: O valor à vista (VA) deve ser igual à soma dos valores presentes de todas as parcelas, considerando uma taxa de juros mensal composta 'i'.
A primeira parcela (P) é paga no momento 0, então seu valor presente é P.
A segunda parcela (P) é paga no momento 1 (mês), então seu valor presente é \( \frac{P}{(1+i)^1} \).
A terceira parcela (P) é paga no momento 2 (meses), então seu valor presente é \( \frac{P}{(1+i)^2} \).
A equação é: VA = P + \( \frac{P}{1+i} \) + \( \frac{P}{(1+i)^2} \).
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Substituir os valores conhecidos na equação:
1.500 = 600 + \( \frac{600}{1+i} \) + \( \frac{600}{(1+i)^2} \).
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Simplificar a equação: Subtraia 600 de ambos os lados:
1.500 - 600 = \( \frac{600}{1+i} \) + \( \frac{600}{(1+i)^2} \)
900 = \( \frac{600}{1+i} \) + \( \frac{600}{(1+i)^2} \).
Divida toda a equação por 600:
\( \frac{900}{600} = \frac{1}{1+i} + \frac{1}{(1+i)^2} \)
1,5 = \( \frac{1}{1+i} + \frac{1}{(1+i)^2} \).
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Resolver a equação para a taxa 'i': Faça uma substituição para simplificar. Seja \( x = \frac{1}{1+i} \).
A equação torna-se: 1,5 = x + x².
Reorganize como uma equação quadrática: x² + x - 1,5 = 0.
Para facilitar, multiplique por 2: 2x² + 2x - 3 = 0.
-
Aplicar a fórmula de Bhaskara (\( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)) para encontrar x:
a = 2, b = 2, c = -3.
Δ = b² - 4ac = 2² - 4(2)(-3) = 4 - (-24) = 4 + 24 = 28.
\( x = \frac{-2 \pm \sqrt{28}}{2 \times 2} = \frac{-2 \pm \sqrt{28}}{4} \).
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Utilizar a aproximação dada: \( \sqrt{28} \approx 5,29 \).
\( x = \frac{-2 \pm 5,29}{4} \).
Como \( x = \frac{1}{1+i} \) e a taxa de juros 'i' deve ser positiva, (1+i) > 1, então 0 < x < 1. Devemos escolher a raiz positiva:
\( x = \frac{-2 + 5,29}{4} = \frac{3,29}{4} = 0,8225 \).
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Encontrar (1+i): Lembre-se que \( x = \frac{1}{1+i} \), então \( 1+i = \frac{1}{x} \).
\( 1+i = \frac{1}{0,8225} \approx 1,21579... \)
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Calcular a taxa 'i':
\( i = (1+i) - 1 \approx 1,21579 - 1 = 0,21579... \)
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Converter para porcentagem:
\( i \approx 0,21579 \times 100 \% = 21,579... \% \).
O valor mais próximo nas alternativas é 21,5%.
Resposta Final:
A taxa mensal de juros compostos praticada nesse financiamento é aproximadamente 21,5%.
Dicas
Erros Comuns
Revisão de Conceitos:
- Juros Compostos: Regime de capitalização onde os juros gerados em cada período são incorporados ao capital principal para o cálculo dos juros do período seguinte. A fórmula básica é \( M = C(1+i)^t \), onde M é o montante, C o capital, i a taxa e t o tempo.
- Valor Presente (PV): É o valor atual de um fluxo de caixa futuro ou de uma série de fluxos de caixa, descontado a uma taxa de juros apropriada. Para um único pagamento futuro P em t períodos, \( PV = \frac{P}{(1+i)^t} \).
- Equivalência de Capitais: Dois ou mais fluxos de caixa são equivalentes em uma determinada data (data focal) se seus valores presentes (ou futuros) calculados com a mesma taxa de juros forem iguais nessa data.
- Anuidade com Entrada (Anuidade Imediata ou Vencida): Uma série de pagamentos iguais feitos em intervalos de tempo iguais, onde o primeiro pagamento ocorre no início do primeiro período (momento zero). A equação \( VA = P + \frac{P}{1+i} + ... + \frac{P}{(1+i)^{n-1}} \) relaciona o valor à vista (VA) com as parcelas (P) e a taxa (i) para 'n' pagamentos, sendo o primeiro à vista.
- Equação Quadrática: Uma equação da forma \(ax^2 + bx + c = 0\), onde a, b e c são constantes e a ≠ 0. Pode ser resolvida usando a fórmula de Bhaskara: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \).
Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
