UECE 2013
Uma lanchonete serve suco de frutas, em copos padronizados para viagem, nos sabores uva, laranja e limão. O número de formas possíveis de adquirir-se cinco copos de suco é
19.
21.
23.
25.
Resolução
Sejam \(x_{\text{uva}},\,x_{\text{lar}},\,x_{\text{lim}}\) as quantidades dos copos de suco de uva, laranja e limão, respectivamente.
Queremos todas as soluções inteiras não-negativas de
\[x_{\text{uva}} + x_{\text{lar}} + x_{\text{lim}} = 5.\]
Trata-se de uma combinação com repetição (também conhecida como problema “stars and bars”).
Para \(n\) itens distribuídos em \(k\) caixas, o número de soluções é
\[\binom{n+k-1}{k-1}.\]
No nosso caso, \(n=5\) (copos) e \(k=3\) (sabores):
\[\binom{5+3-1}{3-1}=\binom{7}{2}=\frac{7\cdot6}{2}=21.\]
Portanto, há \(21\) maneiras diferentes de escolher os cinco copos.
Resposta: alternativa B.
Dicas
Erros Comuns
- Combinação com repetição: número de maneiras de escolher \(n\) elementos permitindo repetições entre \(k\) tipos. Fórmula: \(\binom{n+k-1}{k-1}\).
- Stars and bars: método que transforma o problema em colocar barras (divisórias) entre estrelas (itens) para contar distribuições.
- Soluções inteiras não-negativas de uma soma: cada variável representa a quantidade de um tipo, devendo somar ao total.
