ENEM 2021 segunda aplicação
Uma indústria recortou uma placa de metal no formato triangular ABC, conforme Figura 1, com lados 18,14e 12cm.
Posteriormente, a peça triangular ABC foi dobrada, de tal maneira que o vértice B ficou sobre o segmento AC, e o segmento DE ficou paralelo ao lado AC, conforme Figura 2.
Sabe-se que, na Figura 1, o ângulo ACB é menor que o ângulo CÂB e este é menor que o ângulo ABC, e que os cortes e dobraduras foram executados corretamente pelas máquinas.
Nessas condições, qual é o valor da soma dos comprimentos, em centímetro, dos segmentos DB, BE e EC?
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Resolução
A questão pede para calcular a soma dos comprimentos dos segmentos \(\overline{DB}\), \(\overline{BE}\) e \(\overline{EC}\) após uma placa triangular \(ABC\) ser dobrada.
1. Identificar as medidas dos lados do triângulo ABC:
O problema informa que os lados do triângulo ABC medem 18 cm, 14 cm e 12 cm. Também informa a relação entre os ângulos: \(\angle ACB < \angle CAB < \angle ABC\). Em qualquer triângulo, o maior lado opõe-se ao maior ângulo, e o menor lado opõe-se ao menor ângulo. Portanto:
- O lado oposto ao maior ângulo (\(\angle ABC\)) é o maior lado: \(AC = 18\) cm.
- O lado oposto ao menor ângulo (\(\angle ACB\)) é o menor lado: \(AB = 12\) cm.
- O lado oposto ao ângulo intermediário (\(\angle CAB\)) é o lado de comprimento intermediário: \(BC = 14\) cm.
2. Analisar a dobra e suas propriedades:
A placa é dobrada de forma que o vértice B fica sobre o segmento \(\overline{AC}\) (vamos chamar esse ponto de B') e a linha da dobra, o segmento \(\overline{DE}\), é paralela ao lado \(\overline{AC}\). O ponto D está sobre \(\overline{AB}\) e o ponto E está sobre \(\overline{BC}\).
Quando uma figura é dobrada ao longo de uma linha (no caso, \(\overline{DE}\)), a linha de dobra atua como a mediatriz do segmento que conecta um ponto original (B) ao seu ponto imagem (B'). Isso significa que a distância de B à linha \(\overline{DE}\) é igual à distância de B' à linha \(\overline{DE}\).
Seja \(h_B\) a altura do triângulo ABC relativa à base \(\overline{AC}\) (distância de B a \(\overline{AC}\)). Seja \(d\) a distância entre as retas paralelas \(\overline{DE}\) e \(\overline{AC}\). Como B' está sobre \(\overline{AC}\), a distância de B' a \(\overline{DE}\) é \(d\).
Pela propriedade da dobra, a distância de B a \(\overline{DE}\) também é \(d\).
A altura \(h_B\) é a soma da distância de B a \(\overline{DE}\) e da distância de \(\overline{DE}\) a \(\overline{AC}\). Portanto, \(h_B = d + d = 2d\), o que implica \(d = h_B / 2\).
Isso significa que a linha de dobra \(\overline{DE}\) está localizada na metade da altura do triângulo ABC em relação ao vértice B.
3. Usar a semelhança de triângulos:
Como \(\overline{DE} \parallel \overline{AC}\), pelo Teorema de Tales ou por semelhança de triângulos, o triângulo DBE é semelhante ao triângulo ABC (\(\triangle DBE \sim \triangle ABC\)).
A razão de semelhança (k) é a razão entre as alturas correspondentes. A altura do \(\triangle DBE\) relativa ao vértice B é a distância de B a \(\overline{DE}\), que é \(d\). A altura do \(\triangle ABC\) relativa ao vértice B é \(h_B\).
A razão de semelhança é \(k = \frac{\text{altura de } \triangle DBE}{\text{altura de } \triangle ABC} = \frac{d}{h_B} = \frac{d}{2d} = \frac{1}{2}\).
A razão entre os lados correspondentes também é \(k = 1/2\). Portanto:
\(\frac{DB}{AB} = \frac{1}{2} \implies DB = \frac{AB}{2} = \frac{12}{2} = 6\) cm.
\(\frac{BE}{BC} = \frac{1}{2} \implies BE = \frac{BC}{2} = \frac{14}{2} = 7\) cm.
4. Calcular EC:
O ponto E está sobre o segmento \(\overline{BC}\). Então, \(BC = BE + EC\).
\(EC = BC - BE = 14 - 7 = 7\) cm.
5. Calcular a soma pedida:
A questão pede a soma dos comprimentos \(DB + BE + EC\).
Soma = \(6 + 7 + 7 = 20\) cm.
Dicas
Erros Comuns
1. Relação entre Ângulos e Lados Opostos em um Triângulo: Em qualquer triângulo, ao maior ângulo opõe-se o maior lado, e ao menor ângulo opõe-se o menor lado.
2. Semelhança de Triângulos: Dois triângulos são semelhantes se seus ângulos correspondentes são iguais e seus lados correspondentes são proporcionais. Se uma reta paralela a um dos lados de um triângulo intercepta os outros dois lados em pontos distintos, então ela determina um triângulo menor semelhante ao triângulo original.
3. Propriedades da Dobra (Reflexão): Quando uma figura é dobrada (refletida) sobre uma linha, a linha de dobra é a mediatriz do segmento que une um ponto original à sua imagem. A distância de qualquer ponto à linha de dobra é igual à distância de sua imagem à linha de dobra.
4. Razão de Semelhança: Em triângulos semelhantes, a razão entre quaisquer dois comprimentos correspondentes (lados, alturas, medianas, perímetros) é constante e igual à razão de semelhança.
Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
