ENEM 2016

Para resolver esta questão, precisamos encontrar um ponto de encontro (cruzamento de ruas) que esteja à mesma distância de percurso dos três locais indicados: o trabalho da mãe (M), o consultório do pai (P) e a escola das crianças (E).

1. Representar o mapa como um plano cartesiano:

Podemos associar as ruas numeradas ao eixo x e as ruas com letras ao eixo y. Vamos definir a correspondência:

• Rua 1 ↔ x=1, Rua 2 ↔ x=2, ..., Rua 6 ↔ x=6
• Rua A ↔ y=1, Rua B ↔ y=2, Rua C ↔ y=3, Rua D ↔ y=4, Rua E ↔ y=5, Rua F ↔ y=6

2. Identificar as coordenadas dos locais importantes:

• Trabalho da Mãe (M): Rua 6 com Rua E → Coordenadas M(6, 5)
• Consultório do Pai (P): Rua 2 com Rua E → Coordenadas P(2, 5)
• Escola (E): Rua 4 com Rua A → Coordenadas E(4, 1)

3. Definir a distância de percurso:

O problema afirma que só se pode caminhar nas direções vertical e horizontal. Isso corresponde à distância de Manhattan (ou distância do taxista). A distância de Manhattan entre dois pontos \((x_1, y_1)\) e \((x_2, y_2)\) é dada por:

\[ d = |x_1 - x_2| + |y_1 - y_2| \]

4. Encontrar as coordenadas do imóvel (x, y):

Queremos encontrar um ponto (x, y) tal que a distância até M, P e E seja a mesma.

• Distância do Imóvel (I) até M: \(d(I, M) = |x - 6| + |y - 5|\)
• Distância do Imóvel (I) até P: \(d(I, P) = |x - 2| + |y - 5|\)
• Distância do Imóvel (I) até E: \(d(I, E) = |x - 4| + |y - 1|\)

Devemos ter \(d(I, M) = d(I, P) = d(I, E)\).

5. Resolver as equações:

Primeiro, igualamos \(d(I, M) = d(I, P)\):

\[ |x - 6| + |y - 5| = |x - 2| + |y - 5| \]

Simplificando, obtemos:

\[ |x - 6| = |x - 2| \]

Esta equação significa que x está à mesma distância de 6 e de 2. O ponto médio entre 2 e 6 é \((2 + 6) / 2 = 4\). Portanto, \(x = 4\).

Agora, sabemos que o imóvel deve estar na Rua 4.

A seguir, igualamos \(d(I, P) = d(I, E)\), substituindo \(x = 4\):

\[ d(I, P) = |4 - 2| + |y - 5| = 2 + |y - 5| \] \[ d(I, E) = |4 - 4| + |y - 1| = 0 + |y - 1| = |y - 1| \]

Então, a equação a ser resolvida é:

\[ 2 + |y - 5| = |y - 1| \]

Precisamos analisar os casos para os valores absolutos, dependendo do valor de y:

• Caso 1: \(y \ge 5\). Neste caso, \(|y - 5| = y - 5\) e \(|y - 1| = y - 1\). \(2 + (y - 5) = y - 1\) \(y - 3 = y - 1\) \(-3 = -1\) (Falso). Não há solução neste intervalo.
• Caso 2: \(1 \le y < 5\). Neste caso, \(|y - 5| = -(y - 5) = 5 - y\) e \(|y - 1| = y - 1\). \(2 + (5 - y) = y - 1\) \(7 - y = y - 1\) \(8 = 2y\) \(y = 4\). Este valor está no intervalo \(1 \le y < 5\), então é uma solução válida.
• Caso 3: \(y < 1\). Neste caso, \(|y - 5| = -(y - 5) = 5 - y\) e \(|y - 1| = -(y - 1) = 1 - y\). \(2 + (5 - y) = 1 - y\) \(7 - y = 1 - y\) \(7 = 1\) (Falso). Não há solução neste intervalo.

A única solução é \(y = 4\).

6. Identificar o cruzamento:

Temos \(x = 4\) (Rua 4) e \(y = 4\). Como \(y=4\) corresponde à Rua D, o imóvel deve estar localizado no encontro da Rua 4 com a Rua D.

7. Verificar as distâncias (opcional, mas recomendado):

O ponto encontrado é (4, 4).

• Distância a M(6, 5): \(|4 - 6| + |4 - 5| = |-2| + |-1| = 2 + 1 = 3\)
• Distância a P(2, 5): \(|4 - 2| + |4 - 5| = |2| + |-1| = 2 + 1 = 3\)
• Distância a E(4, 1): \(|4 - 4| + |4 - 1| = |0| + |3| = 0 + 3 = 3\)

As distâncias são iguais a 3 quarteirões.

Conclusão: O imóvel deve ser localizado no encontro das ruas 4 e D.