ENEM 2013 segunda aplicação
Nessas condições, qual a probabilidade de que a peça defeituosa escolhida tenha sido produzida pela máquina M?
Resolução
Entendendo o Problema:
A questão pede a probabilidade de uma peça defeituosa ter sido produzida pela máquina M, sabendo que a peça escolhida ao acaso já é defeituosa. Este é um problema de probabilidade condicional.
Passo 1: Identificar os dados relevantes
- Produção diária da máquina M: 2.000 peças
- Peças defeituosas da máquina M: 60 peças
- Produção diária da máquina N: 3.000 peças
- Peças defeituosas da máquina N: 120 peças
- Total de peças produzidas diariamente: 2.000 + 3.000 = 5.000 peças
- Total de peças defeituosas produzidas diariamente: 60 + 120 = 180 peças
Passo 2: Definir o evento
Queremos calcular a probabilidade de a peça ter sido produzida pela máquina M, DADO que ela é defeituosa. Vamos chamar de:
- Evento M: A peça foi produzida pela máquina M.
- Evento N: A peça foi produzida pela máquina N.
- Evento D: A peça é defeituosa.
O problema pede a probabilidade condicional P(M | D): a probabilidade de M ocorrer, sabendo que D já ocorreu.
Passo 3: Calcular a probabilidade condicional
A fórmula da probabilidade condicional é \( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \). Neste caso, \( P(M|D) = \frac{P(M \cap D)}{P(D)} \). No entanto, uma abordagem mais intuitiva aqui é considerar o espaço amostral reduzido.
Sabemos que a peça escolhida é defeituosa. Portanto, nosso universo de interesse (espaço amostral) não são as 5.000 peças totais, mas sim as 180 peças defeituosas.
- Número total de peças defeituosas (casos possíveis no novo espaço amostral): 180
- Número de peças defeituosas que foram produzidas pela máquina M (casos favoráveis): 60
A probabilidade de que a peça defeituosa escolhida tenha sido produzida pela máquina M é a razão entre o número de peças defeituosas da máquina M e o número total de peças defeituosas:
\[ P(M | D) = \frac{\text{Número de peças defeituosas de M}}{\text{Número total de peças defeituosas}} \] \[ P(M | D) = \frac{60}{180} \]Passo 4: Simplificar a fração
Simplificando a fração \( \frac{60}{180} \), dividimos o numerador e o denominador por 60:
\[ P(M | D) = \frac{60 \div 60}{180 \div 60} = \frac{1}{3} \]Conclusão
A probabilidade de que a peça defeituosa escolhida tenha sido produzida pela máquina M é \( \frac{1}{3} \).
Método Alternativo (Teorema de Bayes):
Podemos usar o Teorema de Bayes: \( P(M|D) = \frac{P(D|M) P(M)}{P(D)} \)
- \( P(M) = \frac{2000}{5000} = \frac{2}{5} \) (Probabilidade de uma peça ser da máquina M)
- \( P(N) = \frac{3000}{5000} = \frac{3}{5} \) (Probabilidade de uma peça ser da máquina N)
- \( P(D|M) = \frac{60}{2000} = \frac{6}{200} = \frac{3}{100} \) (Probabilidade de uma peça ser defeituosa DADO que é da máquina M)
- \( P(D|N) = \frac{120}{3000} = \frac{12}{300} = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} \) (Probabilidade de uma peça ser defeituosa DADO que é da máquina N)
- \( P(D) = P(D|M)P(M) + P(D|N)P(N) \) (Probabilidade total de uma peça ser defeituosa)
- \( P(D) = (\frac{3}{100})(\frac{2}{5}) + (\frac{4}{100})(\frac{3}{5}) = \frac{6}{500} + \frac{12}{500} = \frac{18}{500} = \frac{9}{250} \)
Agora, aplicamos o Teorema de Bayes:
\[ P(M|D) = \frac{P(D|M) P(M)}{P(D)} = \frac{(\frac{3}{100})(\frac{2}{5})}{\frac{18}{500}} = \frac{\frac{6}{500}}{\frac{18}{500}} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3} \]Ambos os métodos levam à mesma resposta.
Dicas
Erros Comuns
Probabilidade Condicional
Probabilidade condicional é a probabilidade de um evento ocorrer, dado que outro evento já ocorreu. A notação para a probabilidade do evento A ocorrer, dado que o evento B ocorreu, é \( P(A|B) \).
A fórmula geral é: \( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \), onde \( P(A \cap B) \) é a probabilidade de ambos os eventos A e B ocorrerem, e \( P(B) \) é a probabilidade do evento B ocorrer (e \( P(B) > 0 \)).
Uma maneira intuitiva de pensar sobre probabilidade condicional é considerar que a ocorrência do evento B reduz o espaço amostral original para um novo espaço amostral que consiste apenas nos resultados onde B ocorre. A probabilidade condicional \( P(A|B) \) é então a proporção dos resultados no novo espaço amostral (onde B ocorreu) que também satisfazem o evento A.
Neste problema, o evento condicionante é "a peça é defeituosa" (evento D). Isso reduz nosso espaço amostral de todas as 5.000 peças para apenas as 180 peças defeituosas. O evento de interesse é "a peça foi produzida pela máquina M" (evento M). Calculamos a probabilidade de M dentro deste novo espaço amostral.
