UNICENTRO 2013/1

Passo 1 – Entender o experimento aleatório
Há duas etapas independentes:
1. Escolher, ao acaso, uma das duas prateleiras (P₁ ou P₂).
2. Escolher, ao acaso, um livro dessa prateleira.

Passo 2 – Contar os livros em cada prateleira
P₁: 3 livros de Matemática + 5 de Física = 8 livros.
P₂: 4 livros de Matemática + 2 de Física = 6 livros.

Passo 3 – Calcular as probabilidades condicionais
• Probabilidade de o livro ser de Matemática dado que escolheu a prateleira 1:
\[ P(\text{Mat} \mid P_1) = \frac{3}{8} \]
• Probabilidade de o livro ser de Matemática dado que escolheu a prateleira 2:
\[ P(\text{Mat} \mid P_2) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]

Passo 4 – Usar o Teorema da Probabilidade Total
A escolha da prateleira é equiprovável: \(P(P_1)=P(P_2)=\frac12\). Assim, a probabilidade total de retirar um livro de Matemática é
\[ P(\text{Mat}) = P(P_1)\,P(\text{Mat}\mid P_1) + P(P_2)\,P(\text{Mat}\mid P_2) \]
\[ P(\text{Mat}) = \frac12 \cdot \frac{3}{8} + \frac12 \cdot \frac{2}{3} \]
\[ P(\text{Mat}) = \frac{3}{16} + \frac{1}{3} \]

Colocando no mesmo denominador (48):
\[ \frac{3}{16}=\frac{9}{48}, \quad \frac{1}{3}=\frac{16}{48} \]
\[ P(\text{Mat}) = \frac{9}{48} + \frac{16}{48} = \frac{25}{48} \]

Passo 5 – Converter para a alternativa
\(\displaystyle P(\text{Mat})=\frac{25}{48}\).
Resposta: alternativa E.