EEAR 2016/1
Uma esfera inscrita em um cubo de diagonal \(2\sqrt{3}\) m tem o volume igual a
\(\frac{\pi}{3}\text{\ }m^3\)
\(\frac{2\pi}{3}\text{\ }m^3\)
\(\frac{4\pi}{3}\text{\ }m^3\)
\(\frac{32\pi}{3}\text{\ }m^3\)
Resolução
Seja o cubo de aresta a. A diagonal espacial (vértice a vértice oposto) de um cubo vale \(a\sqrt{3}\).
O enunciado informa que essa diagonal mede \(2\sqrt{3}\,\text{m}\). Assim:
\[a\sqrt{3}=2\sqrt{3}\;\Longrightarrow\;a=2\,\text{m}\]
Uma esfera inscrita em um cubo tangencia todas as seis faces, logo seu diâmetro é igual à aresta do cubo:
\[d=a=2\,\text{m}\;\Longrightarrow\;r=\frac{d}{2}=1\,\text{m}\]
O volume de uma esfera de raio \(r\) é
\[V=\frac{4}{3}\pi r^{3}\]
Substituindo \(r=1\,\text{m}\):
\[V=\frac{4}{3}\pi\,(1)^{3}=\frac{4\pi}{3}\;\text{m}^{3}\]
Portanto, o volume da esfera é \(\frac{4\pi}{3}\,\text{m}^{3}\).
Dicas
Erros Comuns
- Diagonal espacial do cubo: para aresta \(a\), vale \(a\sqrt{3}\).
- Esfera inscrita: toca todas as faces internas do cubo, de modo que o diâmetro da esfera coincide com a aresta do cubo.
- Volume da esfera: \(V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}\).
