EsPCEx 2019

Se uma esfera de raio \(r=10\,\text{cm}\) está inscrita em um cone equilátero, podemos utilizar a seção meridiana, que é um triângulo isósceles formado por duas geratrizes do cone e o diâmetro da base.

1. Relações do cone equilátero

No cone equilátero, a geratriz \(g\) é igual ao diâmetro da base:

\[g = 2R\]

onde \(R\) é o raio da base. Na seção meridiana (triângulo equilátero), aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:

\[R^{2}+h^{2}=g^{2}\;\;\Rightarrow\;\;R^{2}+h^{2}=(2R)^{2}=4R^{2}\]

Logo,

\[h^{2}=3R^{2}\;\;\Rightarrow\;\;h=\sqrt{3}\,R.\]

2. Raio da esfera inscrita

A esfera inscrita toca a base e a superfície lateral do cone. Na seção meridiana, isso corresponde ao círculo inscrito no triângulo. O raio desse círculo (incentro) é dado por

\[r=\dfrac{\text{Área do triângulo}}{\text{Semiperímetro}}.\]

A área do triângulo é

\[A=\dfrac{1}{2}\cdot (2R)\cdot h=R\,h.\]

O semiperímetro é

\[p=\dfrac{2R+g+g}{2}=\dfrac{2R+2g}{2}=R+g.\]

Como \(g=2R\),

\[p=R+2R=3R.\]

Portanto,

\[r=\dfrac{R\,h}{3R}=\dfrac{h}{3}.\]

Substituindo \(h=\sqrt{3}R\):

\[r=\dfrac{\sqrt{3}R}{3}=\dfrac{R\sqrt{3}}{3}.\]

Dado \(r=10\,\text{cm}\):

\[10=\dfrac{R\sqrt{3}}{3}\;\;\Longrightarrow\;\;R=10\sqrt{3}\,\text{cm}.\]

3. Volume do cone

O volume de um cone é

\[V=\dfrac{1}{3}\,\pi R^{2}h.\]

Substituindo \(R=10\sqrt{3}\) e \(h=\sqrt{3}R=\sqrt{3}(10\sqrt{3})=30\,\text{cm}\):

\[V=\dfrac{1}{3}\,\pi\,(10\sqrt{3})^{2}\,(30)=\dfrac{1}{3}\,\pi\,(100\cdot3)\,(30)=\dfrac{1}{3}\,\pi\,(300)\,(30)=3000\pi\,\text{cm}^{3}.\]

4. Resposta

\(\boxed{3000\pi}\;\text{cm}^{3}\). A alternativa correta é a letra E.