FATEC 2020/1
Uma empresa trabalha com fretamento de ônibus para o litoral. O valor cobrado por passageiro, no caso dos 50 lugares disponíveis serem todos ocupados, é de R\$ 40,00. No caso de não ocorrer a lotação máxima, cada passageiro deverá pagar R\$ 2,00 a mais por assento vazio.
O valor máximo arrecadado por essa empresa, numa dessas viagens, é
R$ 2.000,00
R$ 2.200,00
R$ 2.350,00
R$ 2.450,00
R$ 2.540,00
Resolução
1. Definição das variáveis
- Sejam 50 os lugares disponíveis no ônibus.
- Se n for o número de passageiros (0 ≤ n ≤ 50), então o número de assentos vazios é 50 − n.
2. Preço por passageiro
Com o ônibus lotado, cada passageiro paga R\$ 40,00. Para cada assento vago, esse valor aumenta em R\$ 2,00 para cada passageiro:
\[\text{Preço}(n)=40 + 2\,(50-n)=140-2n\]
3. Receita total
A receita R(n) é o produto do preço pelo número de passageiros:
\[R(n)=n\,(140-2n)=140n-2n^{2}\]
4. Maximização da receita
Trata‑se de uma parábola (coeficiente a=-2<0), portanto o valor máximo ocorre no vértice:
\[n_{\text{máx}}=-\frac{b}{2a}= -\frac{140}{2\,(-2)}=35\]
5. Receita máxima
- Número de passageiros: 35
- Preço por passageiro: \(140-2\times35=70\,\text{(R\$)}\)
- Receita: \(R(35)=35\times70=2\,450\,\text{(R\$)}\)
Resposta: R\$ 2.450,00 (Alternativa D).
Dicas
Erros Comuns
Função quadrática de receita
- A receita (ou lucro) geralmente é dada por preço × quantidade.
- Quando o preço depende da quantidade vendida em forma linear, a receita torna‑se uma função quadrática.
- A parábola resultante abre para baixo (a<0), logo seu vértice indica o valor máximo da função.
- O vértice de \(f(x)=ax^{2}+bx+c\) ocorre em \(x=-\tfrac{b}{2a}\).
