UNIFOR 2020

Uma empresa fabrica tubos de PVC, no formato de cilindros circulares retos, para redes coletoras de esgoto de grandes diâmetros. Um caminhão dessa empresa vai transportar três tubos para uma determinada obra de esgotamento sanitário. Os três tubos possuem o mesmo diâmetro, e a espessura deles é pequena o suficiente para desprezá-la. Após terem sido colocados em cima do caminhão, verificou-se que a altura do piso da carroceria até o chão era de \(1,60\ m,\) conforme figura abaixo.

Levando-se em conta que no trajeto havia alguns viadutos, calculou-se a distância do chão até o topo da carga.

Se o raio desses tubos é r, a expressão que dá essa distância é

a

\(1,6 + 2r\)

b

\(1,6+2r+\sqrt{3}\)

c

\(1,6+2(r+\sqrt{3})\)

d

\(1,6+r(2+\sqrt{3})\)

e

\(1,6 + 4r\)

Ver resposta
Ver resposta
Resposta
D

Resolução

Considere que os dois tubos da base apoiam-se sobre o piso da carroceria; portanto, os seus centros encontram-se a uma distância r acima desse piso.

Tomemos um sistema de eixos com origem no centro de um dos tubos da base. A distância entre os centros dos tubos é o diâmetro, ou seja, 2r. Logo, os centros dos dois tubos inferiores formam os vértices de um triângulo equilátero de lado 2r com o centro do tubo superior.

Usando o Teorema de Pitágoras para calcular a altura desse triângulo:

\[\text{(deslocamento vertical)}^2 + \text{(deslocamento horizontal)}^2 = (2r)^2\]

O deslocamento horizontal entre o centro de um tubo da base e o centro do tubo superior é r. Assim,

\[(\Delta y)^2 + r^2 = 4r^2 \Rightarrow (\Delta y)^2 = 3r^2 \Rightarrow \Delta y = r\sqrt{3}.\]

Portanto, a altura do centro do tubo superior em relação ao piso da carroceria vale

\[r + r\sqrt{3} = r(1+\sqrt{3}).\]

Para alcançar o ponto mais alto da carga ainda se acrescenta mais um raio (r):

\[r(1+\sqrt{3}) + r = r(2+\sqrt{3}).\]

Por fim, adiciona-se a altura de 1,60 m do piso da carroceria ao chão:

\[\boxed{\,1{,}6 + r(2+\sqrt{3})\,}.\]

Assim, a alternativa correta é a letra D.

Dicas

expand_more
Desenhe os três círculos e ligue os centros: qual é a forma do triângulo?
Calcule a altura desse triângulo usando Pitágoras.
Não esqueça de somar o raio extra até o topo e a altura da carroceria (1,60 m).

Erros Comuns

expand_more
Somar apenas dois raios, esquecendo que o terceiro tubo fica acima do par inferior.
Usar 2r como altura da pilha, interpretando a distância entre centros como vertical.
Esquecer de multiplicar √3 por r ao calcular a altura do triângulo.
Não adicionar a altura da carroceria ao chão.
Revisão
  • Triângulo equilátero: quando três círculos idênticos se tocam, os centros formam um triângulo equilátero de lado 2r.
  • Teorema de Pitágoras: relaciona os catetos e a hipotenusa num triângulo retângulo; aqui, usado para obter a altura do triângulo equilátero.
  • Altura máxima da pilha: soma-se a altura do centro ao topo (mais um raio) e, se existir, a altura da base até o solo.
Transforme seus estudos com a AIO!
Estudantes como você estão acelerando suas aprovações usando nossa plataforma de IA + aprendizado ativo.
+25 pts
Aumento médio TRI
4x
Simulados mais rápidos
+50 mil
Estudantes
Diana Bittencourt
Não conhecia a AIO em 2022, e em 2023 e o que eu posso dizer sem dúvidas é que foi uma das maiores surpresas no mundo dos estudos. Digo isso porque, por conta dos simulados reduzidos, fazer questões e simuladinhos todo dia virou um hábito gostoso e que me trouxe resultados no ENEM surpreendentes!
Sarah
Neste ano da minha aprovação, a AIO foi a forma perfeita de eu entender meus pontos fortes e fracos, melhorar minha estratégia de prova e, alcançar uma nota excepcional que me permitiu realizar meu objetivo na universidade dos meus sonhos. Só tenho a agradecer à AIO ... pois com certeza não conseguiria sozinha.
Jonas de Souza
As correções de redações e as aulas são bem organizadas e é claro os professores são os melhores com a melhor metodologia de ensino, sem dúvidas contribuiu muito para o aumento de 120 pontos na minha média final!
A AIO utiliza cookies para garantir uma melhor experiência. Ver política de privacidade
Aceitar