UNIFOR 2020
Uma empresa fabrica tubos de PVC, no formato de cilindros circulares retos, para redes coletoras de esgoto de grandes diâmetros. Um caminhão dessa empresa vai transportar três tubos para uma determinada obra de esgotamento sanitário. Os três tubos possuem o mesmo diâmetro, e a espessura deles é pequena o suficiente para desprezá-la. Após terem sido colocados em cima do caminhão, verificou-se que a altura do piso da carroceria até o chão era de \(1,60\ m,\) conforme figura abaixo.
Levando-se em conta que no trajeto havia alguns viadutos, calculou-se a distância do chão até o topo da carga.
Se o raio desses tubos é r, a expressão que dá essa distância é
\(1,6 + 2r\)
\(1,6+2r+\sqrt{3}\)
\(1,6+2(r+\sqrt{3})\)
\(1,6+r(2+\sqrt{3})\)
\(1,6 + 4r\)
Resolução
Considere que os dois tubos da base apoiam-se sobre o piso da carroceria; portanto, os seus centros encontram-se a uma distância r acima desse piso.
Tomemos um sistema de eixos com origem no centro de um dos tubos da base. A distância entre os centros dos tubos é o diâmetro, ou seja, 2r. Logo, os centros dos dois tubos inferiores formam os vértices de um triângulo equilátero de lado 2r com o centro do tubo superior.
Usando o Teorema de Pitágoras para calcular a altura desse triângulo:
\[\text{(deslocamento vertical)}^2 + \text{(deslocamento horizontal)}^2 = (2r)^2\]
O deslocamento horizontal entre o centro de um tubo da base e o centro do tubo superior é r. Assim,
\[(\Delta y)^2 + r^2 = 4r^2 \Rightarrow (\Delta y)^2 = 3r^2 \Rightarrow \Delta y = r\sqrt{3}.\]
Portanto, a altura do centro do tubo superior em relação ao piso da carroceria vale
\[r + r\sqrt{3} = r(1+\sqrt{3}).\]
Para alcançar o ponto mais alto da carga ainda se acrescenta mais um raio (r):
\[r(1+\sqrt{3}) + r = r(2+\sqrt{3}).\]
Por fim, adiciona-se a altura de 1,60 m do piso da carroceria ao chão:
\[\boxed{\,1{,}6 + r(2+\sqrt{3})\,}.\]
Assim, a alternativa correta é a letra D.
Dicas
Erros Comuns
- Triângulo equilátero: quando três círculos idênticos se tocam, os centros formam um triângulo equilátero de lado 2r.
- Teorema de Pitágoras: relaciona os catetos e a hipotenusa num triângulo retângulo; aqui, usado para obter a altura do triângulo equilátero.
- Altura máxima da pilha: soma-se a altura do centro ao topo (mais um raio) e, se existir, a altura da base até o solo.
