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FEMA Medicina 2017/2
Uma empresa desenvolveu uma tecnologia chamada knock code para desbloqueio de tela de smartphones. Essa tecnologia utiliza o reconhecimento de toques na tela do aparelho dividida em quatro quadrantes, conforme mostra a figura.
Ao optar por esse tipo de desbloqueio, o usuário terá que definir seu próprio knock code. Considere um usuário que deseja criar um knock code com 5 toques, de modo que um toque nunca repita o quadrante utilizado no toque anterior, e que o primeiro e o último toques sejam feitos no mesmo quadrante.
O número de códigos distintos que esse usuário poderá criar é igual a
a
84.
b
72.
c
324.
d
96.
e
144.
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Resposta
A
Resolução
\(\textbf{Passo 1 – escolher o primeiro quadrante}\)
Há 4 quadrantes possíveis para o primeiro toque.
\(\textbf{Passo 2 – escolher o segundo toque}\)
Ele não pode repetir o quadrante anterior (o primeiro). Logo, há \(3\) escolhas.
\(\textbf{Passo 3 – escolher o terceiro toque}\)
De novo, não pode ser igual ao segundo. Assim, também há \(3\) escolhas. Esse terceiro toque pode ou não coincidir com o primeiro.
\(\textbf{Passo 4 – escolher o quarto toque}\)
Regras para o quarto toque \(q_4\):
• não pode ser igual ao terceiro (\(q_3\));
• não pode ser igual ao primeiro, pois o quinto toque (\(q_5\)) deverá repetir o primeiro e não pode haver repetição consecutiva.
Existem dois cenários.
• Caso 1: \(q_3=q_1\).
Então o conjunto proibido para \(q_4\) é apenas \(\{q_1\}\); logo, há \(3\) possibilidades para \(q_4\).
• Caso 2: \(q_3\neq q_1\).
Agora o conjunto proibido é \(\{q_1,q_3\}\); restam \(2\) opções para \(q_4\).
\(\textbf{Contagem das sequências}\)
Para cada \(q_2\) (3 escolhas):
• \(q_3=q_1\): 1 escolha para \(q_3\) × 3 para \(q_4\) ⇒ 3 sequências.
• \(q_3\neq q_1\): 2 escolhas para \(q_3\) × 2 para \(q_4\) ⇒ 4 sequências.
Total para cada \(q_2\): \(3+4=7\) sequências.
Como \(q_2\) tem 3 alternativas, são \(3\times7=21\) sequências diferentes para cada quadrante inicial.
\(\textbf{Passo 5 – fechar o código}\)
O quinto toque é forçado a ser o mesmo do primeiro; como já garantimos que \(q_4\neq q_1\), a condição “não repetir o quadrante anterior” segue satisfeita.
\(\textbf{Total de knock codes}\)
São \(21\) sequências para cada escolha do primeiro quadrante. Como o primeiro quadrante pode ser qualquer um dos 4:
\[4\times21 = 84.\]
\(\boxed{84}\)
Há 4 quadrantes possíveis para o primeiro toque.
\(\textbf{Passo 2 – escolher o segundo toque}\)
Ele não pode repetir o quadrante anterior (o primeiro). Logo, há \(3\) escolhas.
\(\textbf{Passo 3 – escolher o terceiro toque}\)
De novo, não pode ser igual ao segundo. Assim, também há \(3\) escolhas. Esse terceiro toque pode ou não coincidir com o primeiro.
\(\textbf{Passo 4 – escolher o quarto toque}\)
Regras para o quarto toque \(q_4\):
• não pode ser igual ao terceiro (\(q_3\));
• não pode ser igual ao primeiro, pois o quinto toque (\(q_5\)) deverá repetir o primeiro e não pode haver repetição consecutiva.
Existem dois cenários.
• Caso 1: \(q_3=q_1\).
Então o conjunto proibido para \(q_4\) é apenas \(\{q_1\}\); logo, há \(3\) possibilidades para \(q_4\).
• Caso 2: \(q_3\neq q_1\).
Agora o conjunto proibido é \(\{q_1,q_3\}\); restam \(2\) opções para \(q_4\).
\(\textbf{Contagem das sequências}\)
Para cada \(q_2\) (3 escolhas):
• \(q_3=q_1\): 1 escolha para \(q_3\) × 3 para \(q_4\) ⇒ 3 sequências.
• \(q_3\neq q_1\): 2 escolhas para \(q_3\) × 2 para \(q_4\) ⇒ 4 sequências.
Total para cada \(q_2\): \(3+4=7\) sequências.
Como \(q_2\) tem 3 alternativas, são \(3\times7=21\) sequências diferentes para cada quadrante inicial.
\(\textbf{Passo 5 – fechar o código}\)
O quinto toque é forçado a ser o mesmo do primeiro; como já garantimos que \(q_4\neq q_1\), a condição “não repetir o quadrante anterior” segue satisfeita.
\(\textbf{Total de knock codes}\)
São \(21\) sequências para cada escolha do primeiro quadrante. Como o primeiro quadrante pode ser qualquer um dos 4:
\[4\times21 = 84.\]
\(\boxed{84}\)
Dicas
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Fixe o primeiro quadrante; ele define automaticamente o último.
Conte separadamente as opções para o 4º toque quando o 3º for ou não o mesmo do 1º.
Multiplique o resultado obtido para um quadrante inicial pelos 4 possíveis quadrantes.
Erros Comuns
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Ignorar a restrição de que o 4º toque deve diferir do 1º (gerando 72).
Esquecer de obrigar que o 5º toque seja diferente do 4º (resultando em 324).
Acreditar que o 4º toque não precisa ser analisado separadamente e assumir 3 possibilidades em todos os casos.
Revisão
Combinatória – Princípio multiplicativo
Quando uma tarefa é dividida em etapas independentes, o número total de maneiras é o produto das quantidades de cada etapa.
Passeios em grafos
Problemas de “passos adjacentes diferentes” podem ser vistos como caminhos em um grafo onde os vértices são os quadrantes e as arestas representam toques consecutivos distintos.
Condições adicionais
Ao impor que o primeiro e o último toques coincidam (e que não haja repetições consecutivas) é preciso verificar também o penúltimo toque, garantindo que ele seja diferente do último.
Quando uma tarefa é dividida em etapas independentes, o número total de maneiras é o produto das quantidades de cada etapa.
Passeios em grafos
Problemas de “passos adjacentes diferentes” podem ser vistos como caminhos em um grafo onde os vértices são os quadrantes e as arestas representam toques consecutivos distintos.
Condições adicionais
Ao impor que o primeiro e o último toques coincidam (e que não haja repetições consecutivas) é preciso verificar também o penúltimo toque, garantindo que ele seja diferente do último.
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