EEAR 2022
Uma empresa de produtos químicos tem o seguinte logotipo, composto por dois círculos concêntricos divididos em 6 setores circulares de 60° cada.
Se o raio do maior círculo medir 10 cm e o do menor medir 8 cm, toda a área hachurada (em cinza) mede ______ π cm2 .
30
40
50
60
Resolução
O círculo foi dividido por três retas que se cruzam no centro, formando 6 setores de 60° cada.
Há dois raios relevantes:
- R₁ = 8 cm (limite do círculo interno)
- R₂ = 10 cm (limite do círculo externo)
1. Identificar as partes hachuradas
Observando o logotipo, nota-se um padrão alternado:
- Dentro do círculo de raio 8 cm: 3 setores (um sim, um não) estão hachurados.
- No anel (entre 8 cm e 10 cm): os 3 setores restantes (alternados) estão hachurados.
2. Área de um setor interno hachurado
Área de um setor (60°) de raio 8 cm:
\[A_{\text{setor-8}} = \frac{60}{360}\,\pi R_1^2 = \frac16\,\pi\,(8)^2 = \frac{64}{6}\,\pi = \frac{32}{3}\,\pi\;\text{cm}^2\]
Como são 3 setores hachurados:
\[A_{\text{interno}} = 3\,\times\,\frac{32}{3}\,\pi = 32\,\pi\;\text{cm}^2\]
3. Área de um setor do anel hachurado
Área de um setor (60°) do anel (raios 10 e 8):
\[A_{\text{setor-anel}} = \frac16\,\pi\,(10^2-8^2)=\frac16\,\pi\,(100-64)=\frac{36}{6}\,\pi=6\,\pi\;\text{cm}^2\]
Também são 3 setores hachurados:
\[A_{\text{anel}} = 3\,\times\,6\,\pi = 18\,\pi\;\text{cm}^2\]
4. Área total hachurada
\[A_{\text{total}} = A_{\text{interno}} + A_{\text{anel}} = 32\,\pi + 18\,\pi = 50\,\pi\;\text{cm}^2\]
Portanto, a área hachurada mede 50 π cm².
Alternativa C.
Dicas
Erros Comuns
- Setor circular: fração da área do círculo proporcional ao ângulo central.
\(A_{\text{setor}}=\frac{\theta}{360^{\circ}}\pi r^2\). - Anel (corona circular): diferença entre dois círculos concêntricos. Para setores, aplica-se a mesma fórmula usando a diferença dos raios.
- Padrão alternado: contar quantos setores de cada parte (interno/anel) estão efetivamente hachurados.
