INSPER Tarde 2012/1

Para resolver a questão, precisamos determinar qual condição sobre a quantidade de decolagens (Q) garante que a norma do intervalo mínimo de 45 segundos entre decolagens NÃO seja respeitada no período de 1 hora (das 9h00min às 10h00min).

1. Converter o intervalo de tempo para segundos:

O período de tempo considerado é de 1 hora.

\[ 1 \text{ hora} = 60 \text{ minutos} = 60 \times 60 \text{ segundos} = 3600 \text{ segundos} \]

2. Calcular o número máximo de decolagens se a norma FOR respeitada:

A norma exige um intervalo mínimo de 45 segundos entre decolagens consecutivas. Se houver Q decolagens, haverá Q-1 intervalos entre elas.

Sejam \( t_1, t_2, ..., t_Q \) os instantes das decolagens, dentro do intervalo [9h00, 10h00). A primeira decolagem ocorre em \( t_1 \ge \text{9h00} \) e a última em \( t_Q < \text{10h00} \).

Se a norma for respeitada, o tempo entre duas decolagens consecutivas é \( t_{i+1} - t_i \ge 45 \) segundos.

O tempo total decorrido entre a primeira e a última decolagem é \( t_Q - t_1 \). Esse tempo é a soma dos Q-1 intervalos:

\[ t_Q - t_1 = (t_2 - t_1) + (t_3 - t_2) + ... + (t_Q - t_{Q-1}) \]

Se a norma for respeitada, cada intervalo é \( \ge 45 \) segundos. Portanto:

\[ t_Q - t_1 \ge (Q-1) \times 45 \text{ segundos} \]

Como todas as decolagens devem ocorrer no intervalo de 3600 segundos (a última estritamente antes das 10h00), a diferença \( t_Q - t_1 \) deve ser menor que 3600 segundos.

\[ (Q-1) \times 45 \le t_Q - t_1 < 3600 \]

Portanto, para a norma ser respeitada, devemos ter:

\[ (Q-1) \times 45 < 3600 \]

\[ Q-1 < \frac{3600}{45} \]

\[ Q-1 < 80 \]

\[ Q < 81 \]

Isso significa que, se a norma for respeitada, o número máximo de decolagens (Q) é 80.

3. Determinar a condição para que a norma NÃO seja respeitada:

A norma não é respeitada se pelo menos um intervalo entre decolagens for menor que 45 segundos.

Do cálculo anterior, vimos que se \( Q \ge 81 \), a condição \( (Q-1) \times 45 < 3600 \) não pode ser satisfeita se todos os intervalos forem \( \ge 45 \) segundos.

Se \( Q = 81 \), teríamos \( (81-1) \times 45 = 80 \times 45 = 3600 \). Para que 81 decolagens ocorram em menos de 3600 segundos (entre 9h00 e antes das 10h00), a soma dos 80 intervalos (\( t_{81} - t_1 \)) deve ser < 3600s. O intervalo médio seria \( (t_{81} - t_1) / 80 < 3600 / 80 = 45 \) segundos. Se o intervalo médio é menor que 45 segundos, pelo menos um dos intervalos individuais deve ser menor que 45 segundos. Portanto, se Q = 81, a norma NÃO é respeitada.

Se \( Q > 81 \) (por exemplo, Q=82, Q=100, etc.), o número de intervalos (Q-1) é ainda maior. O intervalo médio será \( (t_Q - t_1) / (Q-1) < 3600 / (Q-1) \). Como \( Q-1 \ge 81 \), temos \( 3600 / (Q-1) \le 3600 / 81 \approx 44.44 < 45 \). Assim, se \( Q > 81 \), o intervalo médio é sempre menor que 45 segundos, garantindo que a norma NÃO foi respeitada.

Conclusão: A norma NÃO é respeitada se \( Q \ge 81 \).

4. Analisar as opções:

A questão pede uma condição para que a norma NÃO tenha sido respeitada. A estrutura "Para que [...], é necessário que [...]" geralmente pede uma condição necessária (Se a norma não foi respeitada, então a condição deve ser verdadeira). No entanto, como vimos na análise das opções, nenhuma das condições apresentadas é estritamente necessária. Uma interpretação alternativa, comum em questões de múltipla escolha, é que se busca uma condição *suficiente* (Se a condição for verdadeira, então a norma não foi respeitada).

Analisando as opções como condições suficientes:

• Q = 80: Não é suficiente. Pode ocorrer Q=80 respeitando a norma.
• Q = 81: É suficiente. Se Q=81, a norma não pode ser respeitada.
• Q > 81: É suficiente. Se Q > 81 (Q=82, 83,...), a norma não pode ser respeitada.
• Q = 100: É suficiente. Como 100 > 81, a norma não pode ser respeitada.
• Q < 100: Não é suficiente. Pode ocorrer Q=70 respeitando a norma.

Temos três condições suficientes (B, C, D). A opção D (Q=100) é uma dessas condições. Se Q=100, o número de intervalos é 99. O intervalo médio seria \( < 3600 / 99 \approx 36.36 \) segundos, que é menor que 45 segundos. Portanto, se Q=100, a norma certamente não foi respeitada.

Embora as opções B e C também sejam suficientes, a opção D é a indicada como correta. Isso pode indicar uma particularidade na formulação da questão ou que se espera a escolha de uma das condições suficientes apresentadas.

Portanto, se Q=100, a norma NÃO foi respeitada. A condição Q=100 é suficiente para garantir a violação da norma.