EMESCAM Prova 1 2008/2
Uma cunha maciça de π / 4 radianos é construída de uma esfera de raio R. O material da cunha é derretido e, com ele, construímos um cone circular reto de raio da base R / 2 . Uma seção transversal desse cone define a base de um cone menor de altura h.
Para a secção transversal de área πR2/25, qual das opções abaixo indica o valor de h?
4R/5 ;
2R/5 ;
45R/35 ;
37R/45 ;
42R/25 .
Resolução
Seja uma cunha esférica obtida a partir de uma esfera de raio \(R\) delimitada por um ângulo diedro \(\theta = \pi/4\) radianos. O volume de uma cunha corresponde à mesma fração \(\theta/2\pi\) do volume da esfera, pois a abertura \(2\pi\) rad equivale à esfera toda.
Volume da esfera: \[V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\pi R^{3}\]
Volume da cunha: \[V_{\text{cunha}} = \frac{\theta}{2\pi}\,V_{\text{esfera}} = \frac{\pi/4}{2\pi}\,\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{\pi R^{3}}{6}.\]
Este material é fundido para formar um cone circular reto de raio da base \(r_1 = R/2\) e altura \(H_1\). Igualando os volumes:
\[\frac{1}{3}\pi r_1^{2}H_1 = \frac{\pi R^{3}}{6}\]
\[\frac{1}{3}\pi\left(\frac{R}{2}\right)^{2}H_1 = \frac{\pi R^{3}}{6}\]
\[\frac{\pi R^{2}H_1}{12}=\frac{\pi R^{3}}{6}\;\;\Rightarrow\;\;H_1=2R.\]
Dentro desse cone maior, considera-se uma secção paralela à base cuja área é \(\pi R^{2}/25\). Ela forma a base de um cone menor, semelhante ao original, com raio
\[r_2 = \sqrt{\frac{\pi R^{2}}{25\pi}} = \frac{R}{5}.\]
Pela semelhança de cones (mesmo vértice), a razão dos raios é igual à razão das alturas:
\[\frac{r_2}{r_1}=\frac{h}{H_1}\;\Longrightarrow\;\frac{R/5}{R/2}=\frac{h}{2R}.\]
\[\frac{2}{5}=\frac{h}{2R}\;\Longrightarrow\;h=2R\cdot\frac{2}{5}=\frac{4R}{5}.\]
Portanto, \(h = \boxed{\dfrac{4R}{5}}\).
Dicas
Erros Comuns
- Proporcionalidade de volumes esféricos: uma fatia (cunha) de ângulo \(\theta\) rad ocupa a fração \(\theta/2\pi\) da esfera.
- Volume de cone: \(V=\frac13\pi r^2 h\).
- Cones semelhantes: em cortes paralelos à base, a razão entre raios coincide com a razão entre alturas.
- Área de círculo: \(A=\pi r^2\).
