ENEM 2014

Passo a Passo para a Solução:

1. Entender as Condições: O problema pede para formar triângulos usando exatamente 17 palitos de fósforo de mesmo comprimento. Isso significa que o perímetro do triângulo deve ser 17. Sejam \(a, b, c\) os comprimentos dos lados do triângulo (medidos em número de palitos). Temos que \(a, b, c\) são inteiros positivos e \(a + b + c = 17\).
2. Condição Adicional: É dado que pelo menos um dos lados deve ter comprimento exatamente 6 palitos. Vamos assumir que \(a = 6\).
3. Encontrar os Outros Lados: Se \(a = 6\), então \(6 + b + c = 17\), o que implica \(b + c = 17 - 6 = 11\). Precisamos encontrar pares de inteiros positivos \((b, c)\) que somam 11.
4. Listar Possibilidades: Os pares de inteiros positivos \((b, c)\) cuja soma é 11 são: (1, 10), (2, 9), (3, 8), (4, 7), (5, 6). Note que pares como (6, 5), (7, 4), etc., representam os mesmos triângulos (apenas com os lados \(b\) e \(c\) trocados), então só precisamos considerar os pares onde \(b \le c\) para evitar contar triângulos congruentes duas vezes.
5. Aplicar a Desigualdade Triangular: Para que três comprimentos \(a, b, c\) formem um triângulo, a soma de quaisquer dois lados deve ser maior que o terceiro lado. No nosso caso, com \(a = 6\), as condições são:
   • \(a + b > c \Rightarrow 6 + b > c\)
   • \(a + c > b \Rightarrow 6 + c > b\)
   • \(b + c > a \Rightarrow 11 > 6\) (Esta é sempre verdadeira)
   Vamos testar cada par \((b, c)\) encontrado:
   • Par (1, 10): Lados (6, 1, 10). Teste: \(6 + 1 > 10\)? \(7 > 10\) (Falso). Não forma triângulo.
   • Par (2, 9): Lados (6, 2, 9). Teste: \(6 + 2 > 9\)? \(8 > 9\) (Falso). Não forma triângulo.
   • Par (3, 8): Lados (6, 3, 8). Teste: \(6 + 3 > 8\)? \(9 > 8\) (Verdadeiro). As outras desigualdades (\(6+8>3\) e \(3+8>6\)) também são verdadeiras. Forma um triângulo.
   • Par (4, 7): Lados (6, 4, 7). Teste: \(6 + 4 > 7\)? \(10 > 7\) (Verdadeiro). As outras desigualdades (\(6+7>4\) e \(4+7>6\)) também são verdadeiras. Forma um triângulo.
   • Par (5, 6): Lados (6, 5, 6). Teste: \(6 + 5 > 6\)? \(11 > 6\) (Verdadeiro). As outras desigualdades (\(6+6>5\)) também são verdadeiras. Forma um triângulo (isósceles).
6. Contar os Triângulos Válidos: Os conjuntos de lados que formam triângulos válidos e satisfazem todas as condições são {6, 3, 8}, {6, 4, 7} e {6, 5, 6}. Estes representam triângulos não congruentes entre si.
7. Conclusão: Existem exatamente 3 triângulos não congruentes que podem ser construídos de acordo com as regras dadas.