INSPER 2019/1
Uma companhia de abastecimento de água gerencia o fornecimento de água de uma represa, cujo formato é de um cone circular reto. Após 112 dias de estiagem, aliados ao abastecimento normal de água aos usuários, o nível de água dessa represa baixou de 6,0 m para 3,6 m. Sabe-se que, devido à quantidade excessiva de lodo no fundo da represa, o fornecimento de água é interrompido se o nível baixar para 1,8 m.
A seguir é apresentada uma ilustração da situação:
Como medida preventiva, a companhia de abastecimento decidiu reduzir o fornecimento para um terço do normal.
Nessas condições, o abastecimento será interrompido se o período de estiagem se estender por mais
252 dias.
81 dias.
28 dias.
27 dias.
84 dias.
Resolução
Passo 1: Entender a relação entre nível da água e volume em um cone
A represa tem o formato de um cone circular reto. O volume de água armazenado forma um cone menor, semelhante ao cone total da represa. O volume de um cone é dado por \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\). Para cones semelhantes, a razão entre os raios (r) e as alturas (h) é constante (\(r/h = k\)). Substituindo \(r = kh\) na fórmula do volume, obtemos \(V = \frac{1}{3} \pi (kh)^2 h = (\frac{1}{3} \pi k^2) h^3\). Isso mostra que o volume \(V\) é diretamente proporcional ao cubo da altura \(h\), ou seja, \(V = C \cdot h^3\), onde C é uma constante.
Passo 2: Calcular a variação de volume nos primeiros 112 dias
Inicialmente, a altura era \(h_i = 6,0\) m. Após 112 dias, a altura baixou para \(h_f = 3,6\) m. Vamos calcular os volumes correspondentes (usando a constante de proporcionalidade C):
- Volume inicial: \(V_i = C \cdot (6,0)^3 = C \cdot 216\)
- Volume final (após 112 dias): \(V_f = C \cdot (3,6)^3 = C \cdot 46,656\)
A variação (redução) de volume nesses 112 dias foi:
\[ \Delta V_1 = V_i - V_f = C \cdot 216 - C \cdot 46,656 = C \cdot (216 - 46,656) = C \cdot 169,344 \]
Passo 3: Calcular a taxa de consumo inicial
Essa redução de volume ocorreu em 112 dias. Portanto, a taxa de consumo inicial (volume por dia) foi:
\[ \text{Taxa}_1 = \frac{\Delta V_1}{112 \text{ dias}} = \frac{C \cdot 169,344}{112} = C \cdot 1,512 \text{ (em unidades de volume por dia)} \]
Passo 4: Calcular o volume restante até o nível mínimo
O nível mínimo para captação é \(h_{min} = 1,8\) m. O volume correspondente a essa altura é:
\[ V_{min} = C \cdot (1,8)^3 = C \cdot 5,832 \]
O volume de água que ainda pode ser consumido a partir do nível de 3,6 m até atingir o nível mínimo de 1,8 m é:
\[ \Delta V_2 = V_f - V_{min} = C \cdot 46,656 - C \cdot 5,832 = C \cdot (46,656 - 5,832) = C \cdot 40,824 \]
Passo 5: Calcular a nova taxa de consumo
A companhia decidiu reduzir o fornecimento para um terço (1/3) do normal. Portanto, a nova taxa de consumo é:
\[ \text{Taxa}_2 = \frac{1}{3} \times \text{Taxa}_1 = \frac{1}{3} \times (C \cdot 1,512) = C \cdot 0,504 \text{ (em unidades de volume por dia)} \]
Passo 6: Calcular por quantos dias mais o abastecimento pode continuar
Queremos saber por quanto tempo (\(T\)) o volume restante (\(\Delta V_2\)) pode suprir a demanda com a nova taxa de consumo (\(\text{Taxa}_2\)):
\[ T = \frac{\Delta V_2}{\text{Taxa}_2} = \frac{C \cdot 40,824}{C \cdot 0,504} \]
A constante C se cancela:
\[ T = \frac{40,824}{0,504} = 81 \text{ dias} \]
Método Alternativo (usando proporções):
Sejam as alturas \(h_1 = 6,0\), \(h_2 = 3,6\), \(h_3 = 1,8\). Os volumes são proporcionais a \(h^3\).
- Volume consumido em 112 dias: \(\Delta V_1 \propto h_1^3 - h_2^3 = 6^3 - 3.6^3 = 216 - 46.656 = 169.344\)
- Volume restante a ser consumido: \(\Delta V_2 \propto h_2^3 - h_3^3 = 3.6^3 - 1.8^3 = 46.656 - 5.832 = 40.824\)
A taxa inicial \(R_1\) consumiu \(\Delta V_1\) em 112 dias: \(R_1 = \Delta V_1 / 112\).
A nova taxa é \(R_2 = R_1 / 3\).
O tempo \(T\) para consumir \(\Delta V_2\) com a taxa \(R_2\) é:
\[ T = \frac{\Delta V_2}{R_2} = \frac{\Delta V_2}{R_1 / 3} = 3 \times \frac{\Delta V_2}{R_1} = 3 \times \frac{\Delta V_2}{(\Delta V_1 / 112)} = 3 \times \frac{\Delta V_2}{\Delta V_1} \times 112 \]
\[ T = 3 \times \frac{40.824}{169.344} \times 112 \]
Calculando a razão: \(\frac{40.824}{169.344} = \frac{40824}{169344} = \frac{1}{4.1481...}\). Podemos notar que \(3.6 = 2 \times 1.8\) e \(6.0 = (10/3) \times 1.8\). Usando \(h_3 = 1.8\) como unidade: \(\Delta V_1 \propto ( (10/3) \times 1.8 )^3 - (2 \times 1.8)^3 = 1.8^3 \times [ (10/3)^3 - 2^3 ] = 1.8^3 \times [1000/27 - 8] = 1.8^3 \times [ (1000-216)/27 ] = 1.8^3 \times (784/27)\) \(\Delta V_2 \propto (2 \times 1.8)^3 - (1 \times 1.8)^3 = 1.8^3 \times [ 2^3 - 1^3 ] = 1.8^3 \times [8 - 1] = 1.8^3 \times 7\) A razão é: \(\frac{\Delta V_2}{\Delta V_1} = \frac{1.8^3 \times 7}{1.8^3 \times (784/27)} = \frac{7}{784/27} = \frac{7 \times 27}{784} = \frac{189}{784}\) Como \(784 = 112 \times 7\), a razão é \(\frac{189}{112 \times 7} = \frac{27}{112}\). Substituindo na fórmula do tempo:
\[ T = 3 \times \frac{27}{112} \times 112 = 3 \times 27 = 81 \text{ dias} \]
Conclusão: O abastecimento será interrompido se o período de estiagem se estender por mais 81 dias.
Dicas
Erros Comuns
1. Volume do Cone: O volume \(V\) de um cone circular reto com raio da base \(r\) e altura \(h\) é dado por \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\).
2. Semelhança de Cones: Quando um cone é seccionado por um plano paralelo à base, o cone menor formado acima do plano é semelhante ao cone original. A razão entre quaisquer dimensões lineares correspondentes (como alturas, raios das bases, geratrizes) é constante. Se \(h_1\) e \(h_2\) são as alturas de dois cones semelhantes, e \(V_1\) e \(V_2\) são seus volumes, então a razão entre os volumes é o cubo da razão entre as alturas: \(\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{h_1}{h_2}\right)^3\). No problema, o volume de água em qualquer nível \(h\) é \(V(h) = C \cdot h^3\), onde C é uma constante.
3. Taxa de Variação: A taxa de variação de uma quantidade (neste caso, o volume de água) é a mudança na quantidade dividida pelo tempo que levou para essa mudança ocorrer. Se o volume diminui a uma taxa constante \(R\), então a variação de volume \(\Delta V\) em um tempo \(\Delta t\) é \(\Delta V = R \cdot \Delta t\).
