UNESP 2015/2

Passo a Passo da Solução:

1. Interpretação do Problema: A questão descreve uma chapa retangular de 12 m de largura que é dobrada duas vezes para formar uma canaleta. A Figura 1 mostra a chapa original e a Figura 2 mostra a canaleta formada após as dobras. As dobras criam duas laterais verticais de altura 'x' metros. 2. Determinação das Dimensões da Secção Transversal: A secção transversal da canaleta é o retângulo ABCD mostrado na Figura 2. * A altura da canaleta (lados AB e CD) é dada como \( x \) metros. * A largura original da chapa é 12 m. Para formar as laterais de altura \( x \), duas porções de largura \( x \) são dobradas para cima. Portanto, a largura da base da canaleta (lado AD ou BC) é a largura original menos duas vezes a altura \( x \). Largura da base = \( 12 - 2x \) metros. 3. Cálculo da Área da Secção Transversal: A área de um retângulo é dada pelo produto da base pela altura. A área da secção transversal ABCD é: \[ \text{Área} = \text{base} \times \text{altura} \] \[ \text{Área} = (12 - 2x) \times x \] 4. Formulação da Equação: O problema informa que a área da secção transversal é igual a 18 m². Então, podemos montar a equação: \[ (12 - 2x)x = 18 \] 5. Resolução da Equação: Vamos resolver a equação para encontrar o valor de \( x \). \[ 12x - 2x^2 = 18 \] Rearranjando os termos para formar uma equação quadrática padrão (ax² + bx + c = 0): \[ -2x^2 + 12x - 18 = 0 \] Podemos dividir toda a equação por -2 para simplificar: \[ x^2 - 6x + 9 = 0 \] Esta é uma equação quadrática. Podemos resolvê-la usando a fórmula de Bhaskara ou reconhecendo que é um trinômio quadrado perfeito. * Reconhecendo o Trinômio Quadrado Perfeito: A expressão \( x^2 - 6x + 9 \) é o quadrado da diferença \( (x - 3)^2 \). \[ (x - 3)^2 = 0 \] Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados: \[ x - 3 = 0 \] \[ x = 3 \] * Usando a Fórmula de Bhaskara: Para \( x^2 - 6x + 9 = 0 \), temos \( a=1, b=-6, c=9 \). O discriminante \( \Delta \) é: \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0 \] Como \( \Delta = 0 \), há uma única raiz real: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{0}}{2(1)} = \frac{6}{2} = 3 \] 6. Conclusão: O valor de \( x \), que representa a altura da canaleta, é 3 metros.

Verificação:

Se \( x = 3 \) m, a altura é 3 m e a largura da base é \( 12 - 2(3) = 12 - 6 = 6 \) m. A área da secção transversal é \( 3 \times 6 = 18 \) m², o que confirma o valor dado no enunciado.