UFT Tarde 2012/1

Sejam

• orifício: raio \(r_0\).
• chapa circular: raio inicial \(r=r_0+x\).

Somente a chapa circular sofrerá variação de temperatura. Ela deve encolher até ter raio \(r_0\).

1. Coeficientes de dilatação

Um cubo de volume \(V_0\) passa a ter volume \(V_0+\Delta V\) após ser aquecido 1 °C, com

\[\Delta V = \frac{V_0}{10}\]

Pelo conceito de dilatação volumétrica:

\[\beta = \frac{\Delta V}{V_0\,\Delta \theta} \;\Rightarrow\; \beta = \frac{1/10}{1}=0{,}10\;\text{°C}^{-1}.\]

Para materiais isotrópicos:

\[\alpha = \frac{\beta}{3}=\frac{0{,}10}{3}=\frac{1}{30}\;\text{°C}^{-1}.\]

2. Raio após variação de temperatura

A área do disco (proporcional a \(r^2\)) sofre a mesma razão de dilatação que qualquer superfície do sólido. Para pequenas variações:

\[A'=A\,(1+2\alpha\,\Delta\theta).\]

Como \(A=\pi r^2\) e \(A'=\pi r_0^{2}\), temos

\[r_0^{2}= (r_0+x)^{2}\bigl(1+2\alpha\,\Delta \theta\bigr).\]

3. Isolando \(\Delta\theta\)

Dividindo ambos os membros por \((r_0+x)^2\):

\[1+2\alpha\,\Delta\theta = \left(\frac{r_0}{r_0+x}\right)^{\!2}.\]

Logo

\[\Delta\theta = \frac{\bigl(\dfrac{r_0}{r_0+x}\bigr)^{2}-1}{2\alpha}.\]

Substituindo \(\alpha=1/30\):

\[\Delta\theta = \left[15\left(\frac{r_0^{2}}{(r_0+x)^{2}}-1\right)\right]^{\circ}\!\text{C}.\]

Essa é exatamente a alternativa C.