Sejam
- orifício: raio \(r_0\).
- chapa circular: raio inicial \(r=r_0+x\).
Somente a chapa circular sofrerá variação de temperatura. Ela deve encolher até ter raio \(r_0\).
1. Coeficientes de dilatação
Um cubo de volume \(V_0\) passa a ter volume \(V_0+\Delta V\) após ser aquecido 1 °C, com
\[\Delta V = \frac{V_0}{10}\]
Pelo conceito de dilatação volumétrica:
\[\beta = \frac{\Delta V}{V_0\,\Delta \theta} \;\Rightarrow\; \beta = \frac{1/10}{1}=0{,}10\;\text{°C}^{-1}.\]
Para materiais isotrópicos:
\[\alpha = \frac{\beta}{3}=\frac{0{,}10}{3}=\frac{1}{30}\;\text{°C}^{-1}.\]
2. Raio após variação de temperatura
A área do disco (proporcional a \(r^2\)) sofre a mesma razão de dilatação que qualquer superfície do sólido. Para pequenas variações:
\[A'=A\,(1+2\alpha\,\Delta\theta).\]
Como \(A=\pi r^2\) e \(A'=\pi r_0^{2}\), temos
\[r_0^{2}= (r_0+x)^{2}\bigl(1+2\alpha\,\Delta \theta\bigr).\]
3. Isolando \(\Delta\theta\)
Dividindo ambos os membros por \((r_0+x)^2\):
\[1+2\alpha\,\Delta\theta = \left(\frac{r_0}{r_0+x}\right)^{\!2}.\]
Logo
\[\Delta\theta = \frac{\bigl(\dfrac{r_0}{r_0+x}\bigr)^{2}-1}{2\alpha}.\]
Substituindo \(\alpha=1/30\):
\[\Delta\theta = \left[15\left(\frac{r_0^{2}}{(r_0+x)^{2}}-1\right)\right]^{\circ}\!\text{C}.\]
Essa é exatamente a alternativa C.