IFSulDeMinas 2015/1
Uma bola sobe um plano inclinado com uma velocidade inicial. Ela sobe desacelerando e desce acelerando. Desprezando a resistência do ar, analise as afirmações a seguir:
I. O módulo da desaceleração da bola na subida é igual ao módulo da aceleração da bola na descida.
II. A velocidade inicial da bola na subida é maior que a velocidade final da bola na descida.
III. Se t1 e t2 forem, respectivamente, os valores dos intervalos de tempo que a bola gasta para subir e para descer o plano inclinado, então, t1 < t2.
Está correto o que se afirma apenas em:
I
II
III
I e II
Resolução
Passo 1 – Descrever as forças e a aceleração
No plano inclinado sem atrito atua apenas o componente do peso paralelo ao plano.
\[a = g\,\sen\theta\] (sentido para baixo do plano)
Passo 2 – Subida (velocidade inicial v0)
Tomando o sentido para cima como positivo:
- Velocidade inicial: \(v_0\)
- Aceleração: \(a = -g\sen\theta\) (negativa, pois contrária ao movimento)
No ponto mais alto a velocidade zera:
\[0 = v_0 - (g\sen\theta)\,t_1 \;\Rightarrow\; t_1 = \dfrac{v_0}{g\sen\theta}\]
Passo 3 – Descida
- Velocidade inicial: 0 (inicia no repouso no topo)
- Aceleração: \(a = +g\sen\theta\) (mesmo sentido do movimento)
Para percorrer a mesma distância \(s\) de volta ao ponto de partida:
\[s = \tfrac12 g\sen\theta\,t_2^{2}\]
Mas na subida a mesma distância vale:
\[s = v_0 t_1 - \tfrac12 g\sen\theta\,t_1^{2} = \tfrac12 g\sen\theta\,t_1^{2}\]
Da igualdade dos dois valores de \(s\): \(t_2 = t_1\).
Passo 4 – Comparar as afirmações
I. Módulo da desaceleração na subida = módulo da aceleração na descida = \(g\sen\theta\). Verdadeiro.
II. Por conservação da energia (ou pela simetria do MRUV), a velocidade ao retornar ao ponto de onde foi lançada tem o mesmo módulo de \(v_0\). Assim, \(v_0 = v_f\). Falso.
III. Mostrou-se que \(t_2 = t_1\). Logo, \(t_1 < t_2\) é falso.
Resposta
Somente a afirmação I está correta. Alternativa A.
Dicas
Erros Comuns
Conceitos-chave
- Plano inclinado sem atrito: única força paralela ao plano é o componente do peso \(mg\sen\theta\).
- MRUV: quando a aceleração é constante, as equações horárias são simétricas para subida e descida.
- Conservação da energia mecânica: na ausência de forças dissipativas, a energia total permanece constante; o corpo retorna ao ponto de partida com o mesmo módulo de velocidade.
