UFSM 2014/3
Uma antena de telefone celular rural cobre uma região circular de área igual a 900 π km2. Essa antena está localizada no centro da região circular e sua posição no sistema cartesiano, com medidas em quilômetros, é o ponto (0, 10).
Assim, a equação da circunferência que delimita a região circular é
x2 + y2 - 20y - 800 = 0.
x2 + y2 − 20y + 70 = 0.
x2 + y2 − 20x − 800 = 0.
x2 + y2 − 20x − 70 = 0.
x2 + y2 = 900.
Resolução
Passo 1 – Determinar o raio
A área da região circular coberta pela antena é
\[A=900\,\pi\text{ km}^2.\]
Para um círculo, \(A=\pi r^{2}\). Logo,
\[\pi r^{2}=900\,\pi\;\Longrightarrow\;r^{2}=900\;\Longrightarrow\;r=30\text{ km}.\]
Passo 2 – Identificar o centro
O enunciado informa que a antena está no ponto \((0,10)\). Esse é o centro da circunferência.
Passo 3 – Escrever a equação na forma canônica
A forma canônica de uma circunferência de centro \((a,b)\) e raio \(r\) é
\[(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}.\]
Substituindo \(a=0\), \(b=10\) e \(r^{2}=900\):
\[(x-0)^{2}+(y-10)^{2}=900.\]
Passo 4 – Expandir e organizar
\[(x)^{2}+\bigl(y^{2}-20y+100\bigr)=900\;<\Longrightarrow\;\;x^{2}+y^{2}-20y+100-900=0.\]
Simplificando:
\[x^{2}+y^{2}-20y-800=0.\]
Resposta: alternativa A.
Dicas
Erros Comuns
- Área do círculo: \(A=\pi r^{2}\).
- Equação da circunferência: \((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\) onde \((a,b)\) é o centro.
- Completar quadrado: Útil para transformar a forma expandida em forma canônica ou vice-versa.
