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USF Geral 2014/2
Um tubo sonoro fechado em uma das extremidades e aberto na outra apresenta uma frequência fundamental de 10 Hz. Sabendo que a faixa do som audível para uma pessoa de audição normal encontra-se entre 20 Hz e 20 000 Hz, pode-se afirmar que o número de frequências audíveis contidas pelo tubo é de, aproximadamente,
a
200.
b
333.
c
500.
d
666.
e
1 000.
Ver resposta
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Resposta
E
Tempo médio
1 min
Resolução
A fundamental de um tubo fechado em uma extremidade e aberto na outra é dada por \(f_1 = 10\;\text{Hz}\). Para esse tipo de tubo, só existem harmônicos ímpares:
\[f_n = n\,f_1,\quad n = 1,3,5,\dots\]
1. Limite audível superior: \(f \le 20\,000\,\text{Hz}\)
\[n\,f_1 \le 20\,000 \;\Rightarrow\; n \le \frac{20\,000}{10}=2\,000.\]
Assim, o maior \(n\) possível é o ímpar imediatamente abaixo de 2 000, isto é \(n=1\,999\).
2. Quantidade de valores ímpares de 1 a 1 999:
\[N = \frac{1\,999 + 1}{2} = 1\,000.\]
3. O primeiro desses harmônicos (\(n=1\)) tem frequência \(10\,\text{Hz}\), que é INAUDÍVEL (abaixo de 20 Hz). Logo, excluímos esse termo:
\[N_{\text{audível}} = 1\,000 - 1 = 999.\]
Como as alternativas são aproximadas, a mais próxima de 999 é 1 000.
Resposta: alternativa E.
Dicas
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Em um tubo fechado em uma ponta, só aparecem harmônicos ímpares.
Encontre o maior \(n\) tal que \(n·10\,\text{Hz} \le 20 000\,\text{Hz}\).
Conte quantos ímpares existem nesse intervalo e descarte o fundamental, pois 10 Hz é inaudível.
Erros Comuns
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Usar todos os inteiros (pares e ímpares), obtendo 2 000 harmônicos.
Esquecer de excluir o fundamental (10 Hz) e responder 1 000 exatamente.
Usar 20 Hz como limite inferior e começar a contagem no segundo harmônico (20 Hz) sem notar que ele não existe em tubo semiaberto.
Revisão
- Tubo semiaberto (fechado em uma ponta): produz apenas harmônicos ímpares.
- Frequências harmônicas: \(f_n = n f_1\) com \(n\) ímpar.
- Faixa audível: aproximadamente 20 Hz a 20 kHz.
- Contagem de termos de uma progressão aritmética: número de ímpares entre 1 e \(m\) é \((m+1)/2\) se \(m\) é ímpar.
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