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FMP 2020
Um triângulo retângulo é tal que o comprimento do seu menor cateto corresponde à metade do comprimento de sua hipotenusa.
O seu menor ângulo interno mede
a
10°
b
45°
c
90°
d
30°
e
60°
Ver resposta
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Resposta
D
Resolução
Seja um triângulo retângulo de hipotenusa \(h\). O menor cateto vale \(\dfrac{h}{2}\).
Na trigonometria de triângulos retângulos, a razão entre o cateto oposto a um ângulo \(\theta\) e a hipotenusa é \( \sin\theta\):
\[ \sin\theta = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}} \]
Consideremos \(\theta\) o ângulo oposto ao menor cateto. Então
\[ \sin\theta = \frac{h/2}{h} = \frac12. \]
Sendo \( \sin 30^\circ = \tfrac12\), conclui-se que \(\theta=30^\circ\).
Como 30° é menor do que 60° e 90°, ele é o menor ângulo interno do triângulo.
Resposta: opção D (30°).
Dicas
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Relacione o menor cateto e a hipotenusa usando alguma função trigonométrica.
Qual função usa cateto oposto dividido pela hipotenusa?
Qual é o ângulo cujo seno vale 1/2?
Erros Comuns
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Confundir o menor cateto com o maior cateto ao aplicar o seno.
Achar que todo triângulo retângulo com hipotenusa dobrando um cateto é isósceles (não é; ângulo de 45° necessita catetos iguais).
Usar cosseno em vez de seno e trocar catetos.
Revisão
- Triângulo retângulo: possui um ângulo de 90° e dois catetos (menor e maior) que formam esse ângulo.
- Relações trigonométricas básicas: \( \sin\theta = \dfrac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}\).
- Triângulo 30-60-90: relação entre lados é 1 : \(\sqrt3\) : 2, com hipotenusa sendo o lado 2.
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