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UEMA 2011
Um triângulo retângulo ABC, está inscrito em uma circunferência. Se os catetos desse triângulo medem, respectivamente, 12 cm e 16 cm, a medida do raio da circunferência circunscrita a esse triângulo é:
a
15 cm
b
20 cm
c
5 cm
d
10 cm
e
8 cm
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Resposta
D
Resolução
Para um triângulo retângulo inscrito em uma circunferência, o teorema de Tales garante que a hipotenusa é o diâmetro da circunferência. Portanto, basta encontrar o comprimento da hipotenusa e dividi-lo por 2.
Calcule a hipotenusa usando o teorema de Pitágoras:
\[h = \sqrt{12^2 + 16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20\,\text{cm}.\]
O raio \(R\) é metade do diâmetro:
\[R = \frac{h}{2}=\frac{20}{2}=10\,\text{cm}.\]
Logo, o raio da circunferência circunscrita é 10 cm.
Dicas
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Comece encontrando o comprimento da hipotenusa do triângulo.
Lembre-se da relação entre diâmetro e raio: d = 2R.
Num triângulo retângulo inscrito, a hipotenusa é exatamente o diâmetro da circunferência.
Erros Comuns
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Esquecer que a hipotenusa é o diâmetro e, portanto, não dividir por 2.
Calcular mal a hipotenusa (erro de soma ou raiz).
Confundir raio com diâmetro ou com um dos catetos.
Revisão
- Teorema de Pitágoras: Em um triângulo retângulo, \(h^2 = a^2 + b^2\).
- Triângulo retângulo inscrito: Se um triângulo retângulo está inscrito em uma circunferência, sua hipotenusa é o diâmetro da circunferência (Corolário do teorema de Tales).
- Relação raio-diâmetro: \(d = 2R \Rightarrow R = \dfrac{d}{2}\).
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