OBMEP 2014
Um triângulo equilátero ABC gira uma vez em torno do vértice C e outra vez em torno do vértice B, sempre se apoiando em uma reta, como na fi gura ao lado.
Qual das alternativas representa a trajetória descrita pelo ponto A?
Resolução
Seja o lado do triângulo equilátero ABC igual a s e considere a reta de apoio como o eixo Ox. A rotação sempre ocorre em torno do vértice que se mantém apoiado na reta.
1. Primeira rotação (em torno de C)
No início, A está em (0,0) e C em (s,0). O triângulo gira 120 ° no sentido horário (igual ao ângulo externo do triângulo) até que o lado \(\overline{CB}\) encoste na reta. Assim:
- O centro da rotação é C.
- O ponto A descreve um arco de circunferência de raio \(s\), centro C e amplitude de 120 °.
- No fim dessa rotação, A passa para a posição \((1{,}5s,\;\frac{\sqrt3}{2}s)\).
2. Segunda rotação (em torno de B)
A partir desse instante, o vértice que está apoiado na reta é B (agora em \((2s,0)\)). O triângulo gira mais 120 ° no sentido horário até que o lado \(\overline{AB}\) fique sobre a reta.
- O centro da rotação é B.
- O ponto A descreve outro arco de circunferência de raio \(s\)
- Ao final, A atinge a posição \((3s,0)\).
Portanto, o ponto A percorre dois arcos iguais de 120 ° (cada um de raio s) que se encontram num ponto mais alto, formando um traçado com formato de “bigode”. A alternativa que representa exatamente essa trajetória é a A.
Dicas
Erros Comuns
- Rotação de figuras planas: ao girar um polígono em torno de um vértice, todos os seus pontos descrevem arcos de circunferência cujo raio é a distância ao centro de rotação.
- Ângulo externo de um polígono regular: num triângulo equilátero vale 120 °. Ao “rolar” o triângulo, é esse ângulo que ele gira para que o próximo lado encoste na reta.
- Arco de circunferência: conjunto de pontos que formam parte do perímetro de um círculo, definido por seu raio e ângulo central correspondente.
