ENCCEJA 2018
Resolução
Para resolver esta questão, precisamos seguir alguns passos: primeiro, calcular o valor total que o taxista acumulou em sua aplicação financeira. Em seguida, calcular o preço do carro após o desconto oferecido. Por fim, subtrair o preço do carro do valor acumulado na aplicação para encontrar o saldo final do taxista.
Passo 1: Calcular o montante da aplicação financeira.
A aplicação foi feita a juros compostos. A fórmula para juros compostos é:
\[ M = C \cdot (1 + i)^n \]
Onde:
- \( M \) = Montante (valor final)
- \( C \) = Capital inicial (R\$ 15.000,00)
- \( i \) = Taxa de juros por período (3,0% ao mês = 0,03)
- \( n \) = Número de períodos (15 meses)
O problema nos fornece o valor de \( (1,03)^{15} = 1,558 \).
Substituindo os valores na fórmula:
\[ M = 15000 \cdot (1 + 0,03)^{15} \]
\[ M = 15000 \cdot (1,03)^{15} \]
\[ M = 15000 \cdot 1,558 \]
\[ M = R\$ 23.370,00 \]
Portanto, o taxista tinha R\$ 23.370,00 em sua aplicação.
Passo 2: Calcular o preço do carro com desconto.
O preço original do carro era R\$ 25.000,00 e o desconto foi de 15% para pagamento à vista.
Valor do desconto = Percentual de desconto × Preço original
\[ \text{Desconto} = 0,15 \cdot 25000 \]
\[ \text{Desconto} = R\$ 3.750,00 \]
Preço com desconto = Preço original - Valor do desconto
\[ \text{Preço com desconto} = 25000 - 3750 \]
\[ \text{Preço com desconto} = R\$ 21.250,00 \]
Alternativamente, pode-se calcular o preço com desconto diretamente:
\[ \text{Preço com desconto} = \text{Preço original} \cdot (1 - \text{taxa de desconto}) \]
\[ \text{Preço com desconto} = 25000 \cdot (1 - 0,15) \]
\[ \text{Preço com desconto} = 25000 \cdot 0,85 \]
\[ \text{Preço com desconto} = R\$ 21.250,00 \]
Passo 3: Calcular o saldo final do taxista.
O saldo final é a diferença entre o montante da aplicação e o preço do carro com desconto.
\[ \text{Saldo final} = \text{Montante da aplicação} - \text{Preço do carro com desconto} \]
\[ \text{Saldo final} = 23370 - 21250 \]
\[ \text{Saldo final} = R\$ 2.120,00 \]
Assim, o taxista ficou com um saldo de R\$ 2.120,00 após efetuar a compra do carro.
Dicas
Erros Comuns
Para resolver esta questão, é crucial entender dois conceitos principais da matemática financeira:
-
Juros Compostos:
É um regime de capitalização em que os juros gerados a cada período são somados ao capital principal para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. A fórmula para calcular o montante (\(M\)) em juros compostos é:
\[ M = C \cdot (1 + i)^n \]
Onde:
- \( C \) é o capital inicial (o valor investido).
- \( i \) é a taxa de juros por período (em formato decimal).
- \( n \) é o número de períodos de capitalização.
No problema, a taxa é mensal e o período é dado em meses, o que simplifica a aplicação direta da fórmula.
-
Cálculo de Desconto Percentual:
Um desconto é uma redução no preço original de um bem ou serviço. Para calcular o valor do desconto, multiplica-se a taxa de desconto (em formato decimal) pelo preço original.
\[ \text{Valor do Desconto} = \text{Preço Original} \times \text{Taxa de Desconto} \]
O preço final após o desconto é então:
\[ \text{Preço Final} = \text{Preço Original} - \text{Valor do Desconto} \]
Alternativamente, pode-se calcular o preço final diretamente multiplicando o preço original pelo fator de desconto (1 - taxa de desconto):
\[ \text{Preço Final} = \text{Preço Original} \times (1 - \text{Taxa de Desconto}) \]
