FUVEST 1998

Para determinar a aceleração do corpo B, analise separadamente cada corda e aplique a 2ª Lei de Newton a cada bloco.

1. Relações geométricas (cordas inextensíveis)

Defina o sentido para baixo como positivo e seja

• \(y_A,\;y_B,\;y_C\): deslocamentos verticais de A, B e C.

Cada corda tem comprimento constante:

• Corda 1 (A–polia–B): \(y_A + y_B = \text{constante}\ \Rightarrow\ a_A + a_B = 0\;\Rightarrow\;a_A = -a_B\)

• Corda 2 (C–polia–B): \(y_C + y_B = \text{constante}\ \Rightarrow\ a_C + a_B = 0\;\Rightarrow\;a_C = -a_B\)

Assim, A e C aceleram no sentido oposto ao de B e com o mesmo módulo.

2. Equações de Newton

Sejam \(T_1\) e \(T_2\) as tensões nas cordas 1 e 2 (iguais em toda a corda, pois são ideais e as polias são sem massa).

Bloco A (forças: peso \(mg\) para baixo, tensão \(T_1\) para cima):

\[mg - T_1 = m a_A = -m a_B\tag{1}\]

Bloco C (forças: peso \(mg\) para baixo, tensão \(T_2\) para cima):

\[mg - T_2 = m a_C = -m a_B\tag{2}\]

Bloco B (forças: peso \(mg\) para baixo, duas tensões para cima):

\[mg - T_1 - T_2 = m a_B\tag{3}\]

3. Tensões iguais

Dos itens (1) e (2):

\[T_1 = mg + m a_B, \qquad T_2 = mg + m a_B\]

Logo \(T_1 = T_2 = T\).

4. Determinação de \(a_B\)

Substitua em (3):

\[mg - 2\bigl(mg + ma_B\bigr) = m a_B\] \[mg - 2mg - 2ma_B = m a_B\] \[-mg - 2ma_B = m a_B\] \[-g - 2a_B = a_B\] \[\Rightarrow\ - g = 3a_B \quad \Longrightarrow \quad a_B = -\frac{g}{3}\]

O sinal negativo indica que B acelera no sentido oposto ao escolhido (para cima). Portanto

\(\boxed{a_B = \dfrac{g}{3}\;\text{(para cima)}}\)