ENEM 2021
Um segmento de reta está dividido em duas partes na proporção áurea quando o todo está para uma das partes na mesma razão em que essa parte está para a outra. Essa constante de proporcionalidade é comumente representada pela letra grega φ, e seu valor é dado pela solução positiva da equação φ2 = φ + 1.
Assim como a potência φ2, as potências superiores de φ podem ser expressas da forma aφ + b, em que a e b são inteiros positivos, como apresentado no quadro.
A potência φ7, escrita na forma aφ + b (a e b são inteiros positivos), é
5φ + 3
7φ + 2
9φ + 6
11φ +7
13φ + 8
Resolução
Solução Detalhada:
O problema pede para expressar a potência \(\phi^7\) na forma \(a\phi + b\), onde \(a\) e \(b\) são inteiros positivos. Temos a informação fundamental de que \(\phi\) satisfaz a equação \(\phi^2 = \phi + 1\), e uma tabela com as expressões para \(\phi^2\) até \(\phi^6\) na forma desejada.
Existem algumas maneiras de encontrar \(\phi^7\):
Método 1: Usando a relação recursiva \(\phi^n = \phi \cdot \phi^{n-1}\)
Sabemos da tabela que \(\phi^6 = 8\phi + 5\). Para encontrar \(\phi^7\), multiplicamos \(\phi^6\) por \(\phi\):
\[ \phi^7 = \phi \cdot \phi^6 \]Substituindo a expressão de \(\phi^6\):
\[ \phi^7 = \phi \cdot (8\phi + 5) \]Aplicando a propriedade distributiva:
\[ \phi^7 = 8\phi^2 + 5\phi \]Agora, usamos a relação dada \(\phi^2 = \phi + 1\) para substituir \(\phi^2\) na expressão:
\[ \phi^7 = 8(\phi + 1) + 5\phi \]Novamente, aplicamos a distributiva e simplificamos:
\[ \phi^7 = 8\phi + 8 + 5\phi \] \[ \phi^7 = (8 + 5)\phi + 8 \] \[ \phi^7 = 13\phi + 8 \]Portanto, \(a = 13\) e \(b = 8\).
Método 2: Identificando o padrão (Sequência de Fibonacci)
Observando a tabela, podemos analisar os coeficientes \(a\) e \(b\) para cada potência \(\phi^n = a_n\phi + b_n\):
- \(\phi^2 = 1\phi + 1 \implies a_2 = 1, b_2 = 1\)
- \(\phi^3 = 2\phi + 1 \implies a_3 = 2, b_3 = 1\)
- \(\phi^4 = 3\phi + 2 \implies a_4 = 3, b_4 = 2\)
- \(\phi^5 = 5\phi + 3 \implies a_5 = 5, b_5 = 3\)
- \(\phi^6 = 8\phi + 5 \implies a_6 = 8, b_6 = 5\)
A sequência dos coeficientes \(a_n\) é \(1, 2, 3, 5, 8, \ldots\) e a sequência dos coeficientes \(b_n\) é \(1, 1, 2, 3, 5, \ldots\).
Percebemos que ambas as sequências seguem a regra da Sequência de Fibonacci, onde cada termo é a soma dos dois anteriores. Além disso, notamos que \(b_n = a_{n-1}\) para \(n \ge 3\).
A relação recursiva para os coeficientes pode ser derivada:
\(\phi^{n+1} = \phi \cdot \phi^n = \phi(a_n\phi + b_n) = a_n\phi^2 + b_n\phi = a_n(\phi + 1) + b_n\phi = a_n\phi + a_n + b_n\phi = (a_n + b_n)\phi + a_n\)
Assim, \(a_{n+1} = a_n + b_n\) e \(b_{n+1} = a_n\).
Para encontrar \(\phi^7 = a_7\phi + b_7\), usamos os valores de \(n=6\):
\(a_7 = a_6 + b_6 = 8 + 5 = 13\)
\(b_7 = a_6 = 8\)
Logo, \(\phi^7 = 13\phi + 8\).
Método 3: Usando a propriedade \(\phi^n = \phi^{n-1} + \phi^{n-2}\)
Esta propriedade deriva de \(\phi^2 = \phi + 1\). Multiplicando por \(\phi^{n-2}\), temos \(\phi^n = \phi^{n-1} + \phi^{n-2}\).
Para \(n=7\), temos \(\phi^7 = \phi^6 + \phi^5\).
Usando os valores da tabela:
\(\phi^6 = 8\phi + 5\)
\(\phi^5 = 5\phi + 3\)
Somando as duas expressões:
\[ \phi^7 = (8\phi + 5) + (5\phi + 3) \] \[ \phi^7 = (8+5)\phi + (5+3) \] \[ \phi^7 = 13\phi + 8 \]Todos os métodos levam à mesma resposta.
A expressão para \(\phi^7\) na forma \(a\phi + b\) é \(13\phi + 8\).
Dicas
Erros Comuns
Revisão de Conceitos
A questão envolve a Proporção Áurea (ou número de ouro), representada pela letra grega \(\phi\). Seu valor é a solução positiva da equação quadrática \(x^2 - x - 1 = 0\), que é \(\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618\). A propriedade fundamental utilizada na questão é \(\phi^2 = \phi + 1\).
Esta propriedade permite expressar qualquer potência inteira de \(\phi\) como uma combinação linear de \(\phi\) e 1, na forma \(a\phi + b\), onde \(a\) e \(b\) são inteiros.
Os coeficientes \(a\) e \(b\) nas expressões de \(\phi^n = a_n\phi + b_n\) estão relacionados à Sequência de Fibonacci (\(F_n\)), definida por \(F_0 = 0, F_1 = 1\) e \(F_n = F_{n-1} + F_{n-2}\) para \(n \ge 2\). A relação exata é \(\phi^n = F_n\phi + F_{n-1}\) para \(n \ge 1\).
Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
