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EsPCEx 2005
Um satélite será levado ao espaço por um foguete que tem seu consumo de combustível calculado pela função \(C\left(t\right)\log_2\left(t^2+7\right)^2+2\log_2\frac{1}{7}\), em que C é o consumo em toneladas e t é o tempo em horas. Para colocar o satélite em órbita, o foguete deverá percorrer uma distância de 56 000 km a uma velocidade média de 8 000 km/h.
Com base nessas informações, o físico responsável pelo cálculo chegou à conclusão de que o foguete, para cumprir a missão, terá um consumo de combustível igual a
a
1 tonelada.
b
2 toneladas.
c
6 toneladas.
d
7 toneladas.
e
8 toneladas.
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Resposta
C
Resolução
\[\text{Distância}=56\,000\,\text{km},\quad v_{m}=8\,000\,\text{km/h}\]\n\[t=\frac{\text{distância}}{\text{velocidade}}=\frac{56\,000}{8\,000}=7\,\text{h}\]\n\[C(t)=\log_{2}\bigl((t^{2}+7)^{2}\bigr)+2\,\log_{2}\left(\frac{1}{7}\right)\]\n\[C(7)=\log_{2}\bigl((7^{2}+7)^{2}\bigr)+2\,\log_{2}\left(\frac{1}{7}\right)=\log_{2}(56^{2})+2\,\log_{2}\left(\frac{1}{7}\right)\]\nAplicando propriedades logarítmicas:\n\[\log_{2}(56^{2})=2\,\log_{2}56=2\bigl(\log_{2}7+\log_{2}2^{3}\bigr)=2\bigl(\log_{2}7+3\bigr)=2\,\log_{2}7+6\]\n\[2\,\log_{2}\left(\frac{1}{7}\right)=2\bigl(\log_{2}1-\log_{2}7\bigr)=2\,(0-\log_{2}7)=-2\,\log_{2}7\]\nSomando os termos:\n\[(2\,\log_{2}7+6)+(-2\,\log_{2}7)=6\]\nPortanto, o consumo é \(6\) toneladas.\n
Dicas
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Encontre primeiro o tempo de viagem a partir da distância e da velocidade fornecidas.
Substitua o valor de \(t\) na função de consumo.
Use as propriedades dos logaritmos para simplificar a expressão.
Erros Comuns
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Esquecer de elevar ao quadrado a expressão \((t^{2}+7)^{2}\).
Não aplicar o fator 2 multiplicando \(\log_{2}56\).
Desconhecer que \(\log_{2}(1/7)=-\log_{2}7\).
Calcular tempo usando minutos em vez de horas.
Revisão
- Velocidade média: \(v=\dfrac{\Delta s}{\Delta t}\Rightarrow t=\dfrac{\Delta s}{v}\).
- Propriedades dos logaritmos:
\(\log_{b}(MN)=\log_{b}M+\log_{b}N\), \(\log_{b}(M^{k})=k\,\log_{b}M\) e \(\log_{b}\left(\dfrac{M}{N}\right)=\log_{b}M-\log_{b}N\).
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