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UDESC Prova Tarde 2015/2
Um satélite artificial, em uma órbita geoestacionária em torno da Terra, tem um período de órbita de 24 h. Para outro satélite artificial, cujo período de órbita em torno da Terra é de 48 h, o raio de sua órbita, sendo RGeo o raio da órbita geoestacionária, é igual a:
a
3·RGeo
b
c
2·RGeo
d
e
4·RGeo
Ver resposta
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Resposta
D
Resolução
Solução passo a passo
Para satélites que orbitam o mesmo corpo celeste, o 3º lei de Kepler estabelece:
\[\frac{T^{2}}{R^{3}}=\text{constante}\]
Portanto, para dois satélites ao redor da Terra,
\[\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{2}=\left(\frac{R_2}{R_1}\right)^{3}\]
Tomando:
- Satélite 1 (geoestacionário): \(T_1 = 24\,\text{h}\), \(R_1 = R_{\text{Geo}}\)
- Satélite 2 (desejado): \(T_2 = 48\,\text{h}\), \(R_2 = ?\)
Calculando a razão dos períodos:
\[\frac{T_2}{T_1}=\frac{48\,\text{h}}{24\,\text{h}}=2\]
Aplicando na relação de Kepler:
\[\left(2\right)^2 = \left(\frac{R_2}{R_{\text{Geo}}}\right)^3\;\;\Longrightarrow\;\;4 = \left(\frac{R_2}{R_{\text{Geo}}}\right)^3\]
Extraindo a raiz cúbica:
\[\frac{R_2}{R_{\text{Geo}}}=4^{1/3}\]
Logo,
\[\boxed{R_2 = 4^{1/3}\,R_{\text{Geo}}}\]
Esta expressão corresponde à alternativa D.
Dicas
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Lembre que \(T^2 \propto R^3\).
Monte a razão entre os dois satélites antes de substituir números.
Não esqueça de extrair a raiz cúbica ao final.
Erros Comuns
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Aplicar proporção linear entre período e raio (achar que 2× no período implica 2× no raio).
Esquecer a raiz cúbica na 3ª lei de Kepler.
Confundir 24 h do dia solar com valores em segundos e errar a razão.
Revisão
Conceitos-chave
- Órbita geoestacionária: órbita circular no plano do equador terrestre cujo período é 24 h (igual ao período de rotação da Terra).
- 3ª lei de Kepler (lei harmônica): Para corpos que orbitam o mesmo centro gravitacional, \(T^2 \propto R^3\). Portanto, \(T_2^2/T_1^2 = R_2^3/R_1^3\).
- Razão de grandezas: Quando se dobra o período, não se dobra o raio; a relação é cúbica.
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