OBMEP 2007
Um retângulo de papelão com 45 cm de altura é cortado em dois pedaços, como na figura. Com esses dois pedaços é possível montar um quadrado de lado maior que 45 cm. Qual é o comprimento da base do retângulo?
65
70
75
80
85
Resolução
Se os dois pedaços formam exatamente um quadrado, então as duas figuras têm a mesma área.
\[\text{área do retângulo}=\text{área do quadrado}\]
Seja x o comprimento da base do retângulo e l o lado do quadrado (sabemos que l>45).
\[45\cdot x = l^{2}\tag{1}\]
1. Condição para que o produto seja um quadrado perfeito
Escreva 45 em fatores primos:
\[45 = 3^{2}\cdot 5\]
Para que o produto \(45\cdot x\) seja um quadrado perfeito, cada fator primo deve aparecer em potência par. O fator \(3^{2}\) já está em potência par; falta emparelhar o fator 5. Assim, \(x\) precisa conter outro fator 5 e ainda ser um quadrado perfeito em si:
\[x=5\cdot k^{2},\qquad k\in\mathbb Z_{+}\tag{2}\]
2. Testando as alternativas
Verifique quais bases propostas se escrevem na forma (2):
- 65 = 5·13 (13 não é quadrado perfeito)
- 70 = 5·14 (14 não é quadrado perfeito)
- 75 = 5·15 (15 não é quadrado perfeito)
- 80 = 5·16 (=5·4²) ✓
- 85 = 5·17 (17 não é quadrado perfeito)
A única que satisfaz a condição é 80 cm.
3. Encontrando o lado do quadrado
Só para confirmar, calcule o lado do quadrado para \(x=80\):
\[l^{2}=45\cdot80=3600\;\Longrightarrow\;l=60\text{ cm}>45\text{ cm}\]
Portanto, é realmente possível obter um quadrado maior que 45 cm de lado, e o comprimento da base do retângulo só pode ser:
80 cm
Dicas
Erros Comuns
- Área: figuras obtidas por recorte e remontagem conservam a área total.
- Quadrado perfeito: número que pode ser escrito como \(n^{2}\) (com \(n\) inteiro). Para que um produto seja quadrado perfeito, cada fator primo deve aparecer em potência par.
- Fatoração de 45: \(45=3^{2}\cdot5\); já temos \(3^{2}\), falta emparelhar o fator 5 para obter um quadrado perfeito.
