OBMEP 2014
Um retângulo ABCD de papel branco, com área de 20 cm2, é dobrado como mostra a figura, formando o pentágono BCD’EF com área de 14 cm2. Se pintarmos de azul os dois lados do papel dobrado e desfizermos a dobra, o retângulo fi cará com uma região não pintada. Qual é a área dessa região?
10 cm²
12 cm²
14 cm²
16 cm²
18 cm²
Resolução
Sejam:
\n- \n
- \(x\) = área das partes que ficaram sobrepostas depois da dobra (teremos duas lâminas de papel, uma sobre a outra); \n
- \(y\) = área das partes que ficaram com apenas uma lâmina (sem sobreposição). \n
Antes da dobra, o retângulo tem área total
\n\[x + 2x + y = 20\;\text{cm}^2\]
\nPor quê? A parte sobreposta aparece duas vezes no papel (duas folhas uma sobre a outra), enquanto a parte sem sobreposição aparece uma vez.
\nDepois da dobra, o contorno visível é o do pentágono \(BCD'EF\). Nele, a região sobreposta é contada apenas uma vez, logo
\n\[x + y = 14\;\text{cm}^2.\]
\nSubtraindo as duas equações:
\n\[(x + 2x + y) - (x + y) = 20 - 14 \implies x = 6\;\text{cm}^2.\]
\nLogo:
\n\[y = 14 - x = 8\;\text{cm}^2.\]
\nRegiões que não recebem tinta
\nAo pintar os dois lados do papel já dobrado, apenas as faces externas recebem tinta.\nAs duas faces internas da região sobreposta (uma em cada lâmina) permanecem sem tinta.
\nCada face interna tem área \(x = 6\;\text{cm}^2\). Como são duas faces distintas (pertencem a partes diferentes do retângulo), a área total do retângulo que fica sem tinta depois de desfazer a dobra é
\n\[2x = 2\times 6 = 12\;\text{cm}^2.\]
\nPortanto, a área não pintada é 12 cm².
\nResposta: alternativa B.
\nDicas
Erros Comuns
- \n
- Conservação de área: dobrar não altera a área total do papel, mas pode criar sobreposições. \n
- Contagem de camadas: quando há sobreposição, a mesma região do contorno pode representar duas (ou mais) "folhas" de papel. \n
- Pintura de faces: ao pintar o objeto dobrado, apenas as faces expostas recebem tinta; as faces em contato não. \n
