FGV-RJ 2021/2
Um reservatório em forma de paralelepípedo reto retângulo com dimensões de \(10m\) por \(3m\) por \(4m,\) está cheio de uma matéria prima em forma líquida.
O produto deve ser estocado em outro reservatório em forma de cilindro circular reto, de altura igual a \(8m.\)
No mínimo, o raio da base do cilindro deve ser:
\(\sqrt{\frac{15}{\pi}}m\)
\(\sqrt{\frac{14}{\pi}}m\)
\(\sqrt{\frac{13}{\pi}}m\)
\(\sqrt{\frac{12}{\pi}}m\)
\(\sqrt{\frac{11}{\pi}}m\)
Resolução
O reservatório original é um paralelepípedo reto-retângulo, logo seu volume é o produto das três dimensões:
\[ V_{\text{paral.}} = 10\,\text{m} \times 3\,\text{m} \times 4\,\text{m} = 120\,\text{m}^3. \]
O novo reservatório é um cilindro circular reto de altura \(h = 8\,\text{m}\). O volume de um cilindro é
\[ V_{\text{cil.}} = \pi r^2 h. \]
Como todo o líquido será transferido, os volumes devem ser iguais:
\[ 120 = \pi r^2 \cdot 8. \]
Isolando \(r\):
\[ r^2 = \frac{120}{8\pi} = \frac{15}{\pi} \quad\Longrightarrow\quad r = \sqrt{\frac{15}{\pi}}\,\text{m}. \]
Logo, o raio mínimo da base do cilindro deve ser \(\boxed{\sqrt{\tfrac{15}{\pi}}\,\text{m}}\).
Dicas
Erros Comuns
Paralelepípedo reto-retângulo: volume \(V = a\,b\,c\) (produto de comprimento, largura e altura).
Cilindro circular reto: volume \(V = \pi r^2 h\).
Princípio de conservação: ao transferir o líquido, os volumes permanecem iguais.
Isolamento algébrico: para encontrar uma dimensão desconhecida, isola-se a variável na expressão de volume.
