ITA 2011

A marcha de um relógio de pêndulo depende do período de oscilação do pêndulo, dado (para pequenos ângulos) por

\[T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}\]

onde L é o comprimento do pêndulo. Se o relógio atrasa, o período está um pouco maior do que deveria, logo precisamos encurtar o pêndulo.

1. Relação entre variação de período e comprimento
Derivando:
\[\frac{dT}{T}=\frac{1}{2}\,\frac{dL}{L}\]

2. Erro diário do relógio
O atraso é de 1 min em 24 h (= 1440 min). A fração de erro é
\[\frac{\Delta T}{T}=\frac{-1}{1440}\]
(negativo porque queremos diminuir o período).

3. Variação necessária no comprimento
Aplicando na expressão diferencial:
\[\frac{1}{2}\,\frac{\Delta L}{L}=\frac{-1}{1440}\;\;\Longrightarrow\;\;\Delta L=\frac{-2L}{1440}=\frac{-L}{720}\]

Para L=35 cm:
\[\Delta L=\frac{-35\text{ cm}}{720}\approx-0{,}049\text{ cm}=-0{,}49\text{ mm}\]

4. Conversão em rotações da porca
Cada rotação completa da porca altera 1 mm. Precisamos encurtar cerca de 0,5 mm, isto é, meia rotação no sentido que encurta (à direita).

Resposta — cerca de 1/2 rotação à direita.